MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmuld Structured version   Unicode version

Theorem absmuld 12258
Description: Absolute value distributes over multiplication. Proposition 10-3.7(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
abscld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
abssubd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
absmuld  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )

Proof of Theorem absmuld
StepHypRef Expression
1 abscld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 abssubd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 absmul 12101 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
41, 2, 3syl2anc 644 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990    x. cmul 8997   abscabs 12041
This theorem is referenced by:  mulcn2  12391  reccn2  12392  o1mul  12410  o1rlimmul  12414  iseraltlem3  12479  geomulcvg  12655  mertenslem1  12663  absef  12800  efieq1re  12802  mulgcddvds  13106  prmirredlem  16775  blcvx  18831  iblmulc2  19724  itgabs  19728  bddmulibl  19732  dveflem  19865  dvlip  19879  dvlipcn  19880  plyeq0lem  20131  aalioulem4  20254  radcnvlem1  20331  dvradcnv  20339  pserulm  20340  abelthlem5  20353  abelthlem7  20356  abslogle  20515  logtayllem  20552  abscxpbnd  20639  chordthmlem4  20678  divsqrsumo1  20824  ftalem1  20857  ftalem2  20858  ftalem5  20861  logexprlim  21011  lgsdilem2  21117  2sqlem3  21152  dchrisumlem2  21186  dchrmusum2  21190  dchrvmasumlem3  21195  dchrvmasumiflem1  21197  dchrisum0lem2a  21213  dchrisum0lem2  21214  mudivsum  21226  mulogsumlem  21227  mulog2sumlem1  21230  mulog2sumlem2  21231  2vmadivsumlem  21236  selberglem2  21242  selberg3lem1  21253  selberg4lem1  21256  pntrlog2bndlem1  21273  pntrlog2bndlem3  21275  pntibndlem2  21287  pntlemn  21296  pntlemj  21299  nmbdfnlbi  23554  nmcfnlbi  23557  lgamgulmlem2  24816  lgamgulmlem3  24817  lgamgulmlem5  24819  subfaclim  24876  fprodabs  25299  iblmulc2nc  26272  itgabsnc  26276  cntotbnd  26507  irrapxlem2  26888  irrapxlem5  26891  pellexlem2  26895
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043
  Copyright terms: Public domain W3C validator