Theorem absrpclt 6855

Description: The absolute value of a nonzero number is a positive real. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
absrpclt	|- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (abs` A) e. RR+)

Proof of Theorem absrpclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absclt 6833	. . . 4 |- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)
2	1	adantr 391	. . 3 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (abs` A) e. RR)
3		absge0t 6854	. . . . 5 |- (A e. CC -> 0 <_ (abs` A))
4		0re 5452	. . . . . 6 |- 0 e. RR
5		leltnet 5533	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ (abs` A) e. RR /\ 0 <_ (abs` A)) -> (0 < (abs` A) <-> (abs` A) =/= 0))
6	5, 1	syl3an2 862	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ A e. CC /\ 0 <_ (abs` A)) -> (0 < (abs` A) <-> (abs` A) =/= 0))
7		abs00t 6853	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> ((abs` A) = 0 <-> A = 0))
8	7	3ad2ant2 803	. . . . . . . . . . 11 |- ((0 e. RR /\ A e. CC /\ 0 <_ (abs` A)) -> ((abs` A) = 0 <-> A = 0))
9	8	necon3bid 1604	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ A e. CC /\ 0 <_ (abs` A)) -> ((abs` A) =/= 0 <-> A =/= 0))
10	6, 9	bitrd 530	. . . . . . . . 9 |- ((0 e. RR /\ A e. CC /\ 0 <_ (abs` A)) -> (0 < (abs` A) <-> A =/= 0))
11	10	biimprd 154	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ A e. CC /\ 0 <_ (abs` A)) -> (A =/= 0 -> 0 < (abs` A)))
12	11	3exp 834	. . . . . . 7 |- (0 e. RR -> (A e. CC -> (0 <_ (abs` A) -> (A =/= 0 -> 0 < (abs` A)))))
13	12	com23 32	. . . . . 6 |- (0 e. RR -> (0 <_ (abs` A) -> (A e. CC -> (A =/= 0 -> 0 < (abs` A)))))
14	4, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- (0 <_ (abs` A) -> (A e. CC -> (A =/= 0 -> 0 < (abs` A))))
15	3, 14	mpcom 49	. . . 4 |- (A e. CC -> (A =/= 0 -> 0 < (abs` A)))
16	15	imp 350	. . 3 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> 0 < (abs` A))
17	2, 16	jca 288	. 2 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((abs` A) e. RR /\ 0 < (abs` A)))
18		elrp 6283	. 2 |- ((abs` A) e. RR+ <-> ((abs` A) e. RR /\ 0 < (abs` A)))
19	17, 18	sylibr 200	1 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (abs` A) e. RR+)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   <_ cle 5307  RR+crp 5312   < clt 5498  abscabs 6751

This theorem is referenced by:  dmse1 10594  iintlem1 10603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-rp 6282  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755

Copyright terms: Public domain