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Theorem abssinper 19886
Description: The absolute value of sine has period  pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
abssinper  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )

Proof of Theorem abssinper
StepHypRef Expression
1 zcn 10029 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
2 halfcl 9937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  ( K  /  2 )  e.  CC )
3 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
4 pire 19832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
54recni 8849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
6 mulass 8825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( ( K  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
73, 5, 6mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( K  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
82, 7syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
9 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
10 divcan1 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( K  /  2
)  x.  2 )  =  K )
113, 9, 10mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  /  2
)  x.  2 )  =  K )
1211oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
138, 12eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( K  x.  pi ) )
141, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( K  x.  pi ) )
1514adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  =  ( K  x.  pi ) )
1615oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( ( K  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )
1716fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )
1817eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
1918adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
20 sinper 19849 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( K  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  A
) )
2120adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  A
) )
2219, 21eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  A
) )
2322fveq2d 5529 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
24 peano2cn 8984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  ( K  +  1 )  e.  CC )
25 halfcl 9937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  +  1 )  e.  CC  ->  (
( K  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
273, 5mulcli 8842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
28 mulcl 8821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
2926, 27, 28sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
30 subadd23 9063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )  -> 
( ( A  -  pi )  +  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  ( ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  -  pi ) ) )
315, 30mp3an2 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )  ->  ( ( A  -  pi )  +  ( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  ( ( ( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  -  pi ) ) )
3229, 31sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( A  -  pi )  +  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  ( ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  -  pi ) ) )
33 divcan1 9433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  2 )  =  ( K  + 
1 ) )
343, 9, 33mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  2 )  =  ( K  + 
1 ) )
3524, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  2 )  =  ( K  + 
1 ) )
3635oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  +  1 )  x.  pi ) )
37 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
38 adddir 8830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( K  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( K  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
3937, 5, 38mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( K  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
4036, 39eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
415mulid2i 8840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4241oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( K  x.  pi )  +  pi )
4340, 42syl6req 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  x.  pi )  +  pi )  =  ( ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  2 )  x.  pi ) )
44 mulass 8825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
453, 5, 44mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
4626, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
4743, 46eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( K  x.  pi )  +  pi ) )
4847oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  -  pi )  =  ( ( ( K  x.  pi )  +  pi )  -  pi ) )
49 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  -> 
( K  x.  pi )  e.  CC )
505, 49mpan2 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  CC  ->  ( K  x.  pi )  e.  CC )
51 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  x.  pi )  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( ( K  x.  pi )  +  pi )  -  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
5250, 5, 51sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  x.  pi )  +  pi )  -  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
5348, 52eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  -  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
5453adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  -  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
5554oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( A  +  ( ( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  -  pi ) )  =  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )
5632, 55eqtr2d 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( A  +  ( K  x.  pi ) )  =  ( ( A  -  pi )  +  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
571, 56sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( K  x.  pi ) )  =  ( ( A  -  pi )  +  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
5857fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
5958adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
60 subcl 9051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  -> 
( A  -  pi )  e.  CC )
615, 60mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  pi )  e.  CC )
62 sinper 19849 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  pi )  e.  CC  /\  (
( K  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( A  -  pi ) ) )
6361, 62sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( A  -  pi ) ) )
6463adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( A  -  pi ) ) )
65 sinmpi 19855 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  -  pi ) )  =  -u ( sin `  A ) )
6665ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  -  pi )
)  =  -u ( sin `  A ) )
6764, 66eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  A ) )
6859, 67eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  -u ( sin `  A
) )
6968fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  -u ( sin `  A ) ) )
70 sincl 12406 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
7170absnegd 11931 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u ( sin `  A
) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
7271ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  -u ( sin `  A ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
7369, 72eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
74 zeo 10097 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7574adantl 452 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  / 
2 )  e.  ZZ  \/  ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7623, 73, 75mpjaodan 761 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   ZZcz 10024   abscabs 11719   sincsin 12345   picpi 12348
This theorem is referenced by:  sinkpi  19887  sineq0  19889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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