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Theorem abssinper 20428
Description: The absolute value of sine has period  pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
abssinper  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )

Proof of Theorem abssinper
StepHypRef Expression
1 zcn 10289 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
2 halfcl 10195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  ( K  /  2 )  e.  CC )
3 2cn 10072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
4 pire 20374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
54recni 9104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  CC
6 mulass 9080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( ( K  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
73, 5, 6mp3an23 1272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( K  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
82, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
9 2ne0 10085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
10 divcan1 9689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( K  /  2
)  x.  2 )  =  K )
113, 9, 10mp3an23 1272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  /  2
)  x.  2 )  =  K )
1211oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
138, 12eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( K  x.  pi ) )
141, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( K  x.  pi ) )
1514adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  =  ( K  x.  pi ) )
1615oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( ( K  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )
1716fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )
1817eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
1918adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
20 sinper 20391 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( K  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  A
) )
2120adantlr 697 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( ( K  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  A
) )
2219, 21eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  A
) )
2322fveq2d 5734 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( K  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
24 peano2cn 9240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  ( K  +  1 )  e.  CC )
25 halfcl 10195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  +  1 )  e.  CC  ->  (
( K  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  +  1 )  /  2 )  e.  CC )
273, 5mulcli 9097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
28 mulcl 9076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
2926, 27, 28sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
30 subadd23 9319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  pi  e.  CC  /\  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )  -> 
( ( A  -  pi )  +  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  ( ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  -  pi ) ) )
315, 30mp3an2 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )  ->  ( ( A  -  pi )  +  ( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  ( ( ( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  -  pi ) ) )
3229, 31sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( A  -  pi )  +  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( A  +  ( ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  -  pi ) ) )
33 divcan1 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  2 )  =  ( K  + 
1 ) )
343, 9, 33mp3an23 1272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  2 )  =  ( K  + 
1 ) )
3524, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  2 )  =  ( K  + 
1 ) )
3635oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  +  1 )  x.  pi ) )
37 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
38 adddir 9085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( K  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( K  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
3937, 5, 38mp3an23 1272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  +  1 )  x.  pi )  =  ( ( K  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
4036, 39eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( K  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) ) )
415mulid2i 9095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  pi )  =  pi
4241oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  x.  pi )  +  ( 1  x.  pi ) )  =  ( ( K  x.  pi )  +  pi )
4340, 42syl6req 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( K  x.  pi )  +  pi )  =  ( ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  2 )  x.  pi ) )
44 mulass 9080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
453, 5, 44mp3an23 1272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
4626, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  2 )  x.  pi )  =  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) )
4743, 46eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  + 
1 )  /  2
)  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( K  x.  pi )  +  pi ) )
4847oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  -  pi )  =  ( ( ( K  x.  pi )  +  pi )  -  pi ) )
49 mulcl 9076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  -> 
( K  x.  pi )  e.  CC )
505, 49mpan2 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  CC  ->  ( K  x.  pi )  e.  CC )
51 pncan 9313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  x.  pi )  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  ->  (
( ( K  x.  pi )  +  pi )  -  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
5250, 5, 51sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( K  x.  pi )  +  pi )  -  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
5348, 52eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  CC  ->  (
( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  -  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
5453adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) )  -  pi )  =  ( K  x.  pi ) )
5554oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( A  +  ( ( ( ( K  +  1 )  / 
2 )  x.  (
2  x.  pi ) )  -  pi ) )  =  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )
5632, 55eqtr2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( A  +  ( K  x.  pi ) )  =  ( ( A  -  pi )  +  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
571, 56sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( K  x.  pi ) )  =  ( ( A  -  pi )  +  ( ( ( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )
5857fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
5958adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
60 subcl 9307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  -> 
( A  -  pi )  e.  CC )
615, 60mpan2 654 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  pi )  e.  CC )
62 sinper 20391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  -  pi )  e.  CC  /\  (
( K  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( A  -  pi ) ) )
6361, 62sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( A  -  pi ) ) )
6463adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  ( sin `  ( A  -  pi ) ) )
65 sinmpi 20397 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  ( A  -  pi ) )  =  -u ( sin `  A ) )
6665ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  -  pi )
)  =  -u ( sin `  A ) )
6764, 66eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  (
( A  -  pi )  +  ( (
( K  +  1 )  /  2 )  x.  ( 2  x.  pi ) ) ) )  =  -u ( sin `  A ) )
6859, 67eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) )  =  -u ( sin `  A
) )
6968fveq2d 5734 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  -u ( sin `  A ) ) )
70 sincl 12729 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
7170absnegd 12253 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  -u ( sin `  A
) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
7271ad2antrr 708 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  -u ( sin `  A ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
7369, 72eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( K  +  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
74 zeo 10357 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( K  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7574adantl 454 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  / 
2 )  e.  ZZ  \/  ( ( K  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
7623, 73, 75mpjaodan 763 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( sin `  ( A  +  ( K  x.  pi ) ) ) )  =  ( abs `  ( sin `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    - cmin 9293   -ucneg 9294    / cdiv 9679   2c2 10051   ZZcz 10284   abscabs 12041   sincsin 12668   picpi 12671
This theorem is referenced by:  sinkpi  20429  sineq0  20431  sineq0ALT  29111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756
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