Theorem absvalt 6762

Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133.

Assertion

Ref	Expression
absvalt	|- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))

Proof of Theorem absvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 59	. . . 4 |- (x = A -> x = A)
2		fveq2 3724	. . . 4 |- (x = A -> (*` x) = (*` A))
3	1, 2	opreq12d 3978	. . 3 |- (x = A -> (x x. (*` x)) = (A x. (*` A)))
4	3	fveq2d 3728	. 2 |- (x = A -> (sqr` (x x. (*` x))) = (sqr` (A x. (*` A))))
5		df-abs 6754	. 2 |- abs = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (sqr` (x x. (*` x))))}
6		fvex 3732	. 2 |- (sqr` (A x. (*` A))) e. V
7	4, 5, 6	fvopab4 3780	1 |- (A e. CC -> (abs` A) = (sqr` (A x. (*` A))))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232   x. cmul 5239  sqrcsqr 6669  *ccj 6749  abscabs 6750

This theorem is referenced by:  absnegt 6832  absclt 6833  abscjt 6834  absvalsqt 6835  absge0 6840  absval2 6841  absmul 6847  absid 6861  absret 6866  absi 6878  absf 6906  siii 8513  norm-iii 9006

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-abs 6754

Copyright terms: Public domain