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Theorem abvcxp 20764
Description: Raising an absolute value to a power less than one yields another absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvcxp.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvcxp.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvcxp.f  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( ( F `  x )  ^ c  S ) )
Assertion
Ref Expression
abvcxp  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  G  e.  A
)
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, R    x, S
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem abvcxp
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvcxp.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21a1i 10 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  A  =  (AbsVal `  R ) )
3 abvcxp.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
43a1i 10 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  B  =  (
Base `  R )
)
5 eqidd 2284 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( +g  `  R
)  =  ( +g  `  R ) )
6 eqidd 2284 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( .r `  R )  =  ( .r `  R ) )
7 eqidd 2284 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( 0g `  R )  =  ( 0g `  R ) )
81abvrcl 15586 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
98adantr 451 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  R  e.  Ring )
101, 3abvcl 15589 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x
)  e.  RR )
1110adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
121, 3abvge0 15590 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  x ) )
1312adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
14 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )
15 0xr 8878 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
16 1re 8837 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
17 elioc2 10713 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR )  ->  ( S  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) ) )
1815, 16, 17mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  ( 0 (,] 1 )  <->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) )
1914, 18sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) )
2019simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  e.  RR )
2120adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  RR )
2211, 13, 21recxpcld 20070 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  e.  RR )
23 abvcxp.f . . 3  |-  G  =  ( x  e.  B  |->  ( ( F `  x )  ^ c  S ) )
2422, 23fmptd 5684 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  G : B --> RR )
25 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
263, 25rng0cl 15362 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  B )
279, 26syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( 0g `  R )  e.  B
)
28 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( 0g `  R ) ) )
2928oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  R )  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  ( 0g
`  R ) )  ^ c  S ) )
30 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( 0g
`  R ) )  ^ c  S )  e.  _V
3129, 23, 30fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( ( 0g `  R )  e.  B  ->  ( G `  ( 0g `  R ) )  =  ( ( F `  ( 0g `  R ) )  ^ c  S
) )
3227, 31syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( G `  ( 0g `  R ) )  =  ( ( F `  ( 0g
`  R ) )  ^ c  S ) )
331, 25abv0 15596 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
3433adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
3534oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( ( F `
 ( 0g `  R ) )  ^ c  S )  =  ( 0  ^ c  S
) )
3620recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  e.  CC )
3719simp2d 968 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  0  <  S
)
3837gt0ne0d 9337 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  S  =/=  0
)
3936, 380cxpd 20057 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( 0  ^ c  S )  =  0 )
4035, 39eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( ( F `
 ( 0g `  R ) )  ^ c  S )  =  0 )
4132, 40eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  ( G `  ( 0g `  R ) )  =  0 )
42 simp1l 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  F  e.  A )
43 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  y  e.  B )
441, 3abvcl 15589 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
4542, 43, 44syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
461, 3, 25abvgt0 15593 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
0  <  ( F `  y ) )
47463adant1r 1175 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  0  <  ( F `  y
) )
4845, 47elrpd 10388 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( F `  y )  e.  RR+ )
49203ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  S  e.  RR )
5048, 49rpcxpcld 20077 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  (
( F `  y
)  ^ c  S
)  e.  RR+ )
5150rpgt0d 10393 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  0  <  ( ( F `  y )  ^ c  S ) )
52 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
5352oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  y )  ^ c  S ) )
54 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  ^ c  S )  e.  _V
5553, 23, 54fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( y  e.  B  ->  ( G `  y )  =  ( ( F `
 y )  ^ c  S ) )
5643, 55syl 15 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  ( G `  y )  =  ( ( F `
 y )  ^ c  S ) )
5751, 56breqtrrd 4049 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  ->  0  <  ( G `  y
) )
58 simp1l 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  F  e.  A
)
59 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  y  e.  B
)
60 simp3l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  z  e.  B
)
61 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
621, 3, 61abvmul 15594 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  (
y ( .r `  R ) z ) )  =  ( ( F `  y )  x.  ( F `  z ) ) )
6358, 59, 60, 62syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( y ( .r
`  R ) z ) )  =  ( ( F `  y
)  x.  ( F `
 z ) ) )
6463oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( .r `  R ) z ) )  ^ c  S )  =  ( ( ( F `  y )  x.  ( F `  z )
)  ^ c  S
) )
6558, 59, 44syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
661, 3abvge0 15590 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  y ) )
6758, 59, 66syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  ( F `  y )
)
681, 3abvcl 15589 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
6958, 60, 68syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  z )  e.  RR )
701, 3abvge0 15590 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  z ) )
7158, 60, 70syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  ( F `  z )
)
72363ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  e.  CC )
7365, 67, 69, 71, 72mulcxpd 20075 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  x.  ( F `  z ) )  ^ c  S )  =  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  x.  (
( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
7464, 73eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( .r `  R ) z ) )  ^ c  S )  =  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  x.  (
( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
7593ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  R  e.  Ring )
763, 61rngcl 15354 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  (
y ( .r `  R ) z )  e.  B )
7775, 59, 60, 76syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( y ( .r `  R ) z )  e.  B
)
78 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( .r `  R ) z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y ( .r
`  R ) z ) ) )
7978oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( .r `  R ) z )  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  ( y ( .r `  R
) z ) )  ^ c  S ) )
80 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( y ( .r `  R
) z ) )  ^ c  S )  e.  _V
8179, 23, 80fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( ( y ( .r `  R ) z )  e.  B  ->  ( G `  ( y
( .r `  R
) z ) )  =  ( ( F `
 ( y ( .r `  R ) z ) )  ^ c  S ) )
8277, 81syl 15 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( .r
`  R ) z ) )  =  ( ( F `  (
y ( .r `  R ) z ) )  ^ c  S
) )
8359, 55syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  y )  =  ( ( F `  y
)  ^ c  S
) )
84 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
8584oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  z )  ^ c  S ) )
86 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( F `  z )  ^ c  S )  e.  _V
8785, 23, 86fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( z  e.  B  ->  ( G `  z )  =  ( ( F `
 z )  ^ c  S ) )
8860, 87syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  z )  =  ( ( F `  z
)  ^ c  S
) )
8983, 88oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  x.  ( G `  z
) )  =  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  x.  (
( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
9074, 82, 893eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( .r
`  R ) z ) )  =  ( ( G `  y
)  x.  ( G `
 z ) ) )
91 rnggrp 15346 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
9275, 91syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  R  e.  Grp )
93 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
943, 93grpcl 14495 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B )
9592, 59, 60, 94syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B
)
961, 3abvcl 15589 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B )  -> 
( F `  (
y ( +g  `  R
) z ) )  e.  RR )
9758, 95, 96syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  e.  RR )
981, 3abvge0 15590 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( y ( +g  `  R ) z )  e.  B )  -> 
0  <_  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
9958, 95, 98syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  ( F `  ( y
( +g  `  R ) z ) ) )
100193ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( S  e.  RR  /\  0  < 
S  /\  S  <_  1 ) )
101100simp1d 967 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  e.  RR )
10297, 99, 101recxpcld 20070 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^ c  S )  e.  RR )
10365, 69readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 y )  +  ( F `  z
) )  e.  RR )
10465, 69, 67, 71addge0d 9348 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <_  (
( F `  y
)  +  ( F `
 z ) ) )
105103, 104, 101recxpcld 20070 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^ c  S )  e.  RR )
10665, 67, 101recxpcld 20070 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 y )  ^ c  S )  e.  RR )
10769, 71, 101recxpcld 20070 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 z )  ^ c  S )  e.  RR )
108106, 107readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  +  ( ( F `
 z )  ^ c  S ) )  e.  RR )
1091, 3, 93abvtri 15595 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  (
y ( +g  `  R
) z ) )  <_  ( ( F `
 y )  +  ( F `  z
) ) )
11058, 59, 60, 109syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  <_  ( ( F `  y )  +  ( F `  z ) ) )
111100simp2d 968 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  0  <  S
)
112101, 111elrpd 10388 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  e.  RR+ )
11397, 99, 103, 104, 112cxple2d 20074 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  <_ 
( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  <->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^ c  S )  <_  (
( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^ c  S
) ) )
114110, 113mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^ c  S )  <_  (
( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^ c  S
) )
115100simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  S  <_  1
)
11665, 67, 69, 71, 112, 115cxpaddle 20092 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( ( F `  y )  +  ( F `  z ) )  ^ c  S )  <_  (
( ( F `  y )  ^ c  S )  +  ( ( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
117102, 105, 108, 114, 116letrd 8973 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( F `
 ( y ( +g  `  R ) z ) )  ^ c  S )  <_  (
( ( F `  y )  ^ c  S )  +  ( ( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
118 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  R ) z )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( y ( +g  `  R ) z ) ) )
119118oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  R ) z )  ->  (
( F `  x
)  ^ c  S
)  =  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^ c  S ) )
120 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^ c  S )  e.  _V
121119, 23, 120fvmpt 5602 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  R
) z )  e.  B  ->  ( G `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  =  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^ c  S ) )
12295, 121syl 15 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  =  ( ( F `  ( y ( +g  `  R
) z ) )  ^ c  S ) )
12383, 88oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( ( G `
 y )  +  ( G `  z
) )  =  ( ( ( F `  y )  ^ c  S )  +  ( ( F `  z
)  ^ c  S
) ) )
124117, 122, 1233brtr4d 4053 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  S  e.  (
0 (,] 1 ) )  /\  ( y  e.  B  /\  y  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  (
z  e.  B  /\  z  =/=  ( 0g `  R ) ) )  ->  ( G `  ( y ( +g  `  R ) z ) )  <_  ( ( G `  y )  +  ( G `  z ) ) )
1252, 4, 5, 6, 7, 9, 24, 41, 57, 90, 124isabvd 15585 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  S  e.  ( 0 (,] 1 ) )  ->  G  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   (,]cioc 10657   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   Ringcrg 15337  AbsValcabv 15581    ^ c ccxp 19913
This theorem is referenced by:  ostth2  20786  ostth  20788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-abv 15582  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
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