MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvf Structured version   Unicode version

Theorem abvf 15911
Description: An absolute value is a function from the ring to the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
abvf  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> RR )

Proof of Theorem abvf
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2abvfge0 15910 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> ( 0 [,) 
+oo ) )
4 0re 9091 . . 3  |-  0  e.  RR
5 pnfxr 10713 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
6 icossre 10991 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
74, 5, 6mp2an 654 . 2  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
8 fss 5599 . 2  |-  ( ( F : B --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  F : B
--> RR )
93, 7, 8sylancl 644 1  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119   [,)cico 10918   Basecbs 13469  AbsValcabv 15904
This theorem is referenced by:  abvcl  15912  abvres  15927  abvmet  18623  tngnrg  18710  ostthlem1  21321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-ico 10922  df-abv 15905
  Copyright terms: Public domain W3C validator