MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvf Unicode version

Theorem abvf 15604
Description: An absolute value is a function from the ring to the real numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
abvf  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> RR )

Proof of Theorem abvf
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . 3  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2abvfge0 15603 . 2  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> ( 0 [,) 
+oo ) )
4 0re 8854 . . 3  |-  0  e.  RR
5 pnfxr 10471 . . 3  |-  +oo  e.  RR*
6 icossre 10746 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
74, 5, 6mp2an 653 . 2  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
8 fss 5413 . 2  |-  ( ( F : B --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  F : B
--> RR )
93, 7, 8sylancl 643 1  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882   [,)cico 10674   Basecbs 13164  AbsValcabv 15597
This theorem is referenced by:  abvcl  15605  abvres  15620  abvmet  18114  tngnrg  18201  ostthlem1  20792
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-ico 10678  df-abv 15598
  Copyright terms: Public domain W3C validator