Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvfval Unicode version

Theorem abvfval 15583
 Description: Value of the set of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvfval.a AbsVal
abvfval.b
abvfval.p
abvfval.t
abvfval.z
Assertion
Ref Expression
abvfval
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem abvfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvfval.a . 2 AbsVal
2 fveq2 5525 . . . . . 6
3 abvfval.b . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2333 . . . . 5
54oveq2d 5874 . . . 4
6 fveq2 5525 . . . . . . . . 9
7 abvfval.z . . . . . . . . 9
86, 7syl6eqr 2333 . . . . . . . 8
98eqeq2d 2294 . . . . . . 7
109bibi2d 309 . . . . . 6
11 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12
12 abvfval.t . . . . . . . . . . . 12
1311, 12syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11
1413oveqd 5875 . . . . . . . . . 10
1514fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
1615eqeq1d 2291 . . . . . . . 8
17 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12
18 abvfval.p . . . . . . . . . . . 12
1917, 18syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . 11
2019oveqd 5875 . . . . . . . . . 10
2120fveq2d 5529 . . . . . . . . 9
2221breq1d 4033 . . . . . . . 8
2316, 22anbi12d 691 . . . . . . 7
244, 23raleqbidv 2748 . . . . . 6
2510, 24anbi12d 691 . . . . 5
264, 25raleqbidv 2748 . . . 4
275, 26rabeqbidv 2783 . . 3
28 df-abv 15582 . . 3 AbsVal
29 ovex 5883 . . . 4
3029rabex 4165 . . 3
3127, 28, 30fvmpt 5602 . 2 AbsVal
321, 31syl5eq 2327 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  crab 2547   class class class wbr 4023  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmap 6772  cc0 8737   caddc 8740   cmul 8742   cpnf 8864   cle 8868  cico 10658  cbs 13148   cplusg 13208  cmulr 13209  c0g 13400  crg 15337  AbsValcabv 15581 This theorem is referenced by:  isabv  15584 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-abv 15582
 Copyright terms: Public domain W3C validator