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Theorem abvfval 15599
Description: Value of the set of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvfval.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvfval.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvfval.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
abvfval.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
abvfval.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvfval  |-  ( R  e.  Ring  ->  A  =  { f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B )  | 
A. x  e.  B  ( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) } )
Distinct variable groups:    x, f,
y, B    .+ , f    R, f, x, y    .x. , f    .0. , f
Allowed substitution hints:    A( x, y, f)    .+ ( x, y)    .x. ( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem abvfval
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvfval.a . 2  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  ( Base `  R
) )
3 abvfval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
42, 3syl6eqr 2346 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( Base `  r )  =  B )
54oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
( 0 [,)  +oo )  ^m  ( Base `  r
) )  =  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B ) )
6 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  ( 0g `  R
) )
7 abvfval.z . . . . . . . . 9  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
86, 7syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  .0.  )
98eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
x  =  ( 0g
`  r )  <->  x  =  .0.  ) )
109bibi2d 309 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  r ) )  <-> 
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )
) )
11 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( .r `  r )  =  ( .r `  R
) )
12 abvfval.t . . . . . . . . . . . 12  |-  .x.  =  ( .r `  R )
1311, 12syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  ( .r `  r )  = 
.x.  )
1413oveqd 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x ( .r `  r ) y )  =  ( x  .x.  y ) )
1514fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( f `  ( x  .x.  y ) ) )
1615eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( f `  (
x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  <->  ( f `  ( x  .x.  y
) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) ) ) )
17 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( +g  `  r )  =  ( +g  `  R
) )
18 abvfval.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+  =  ( +g  `  R )
1917, 18syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  ( +g  `  r )  = 
.+  )
2019oveqd 5891 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
x ( +g  `  r
) y )  =  ( x  .+  y
) )
2120fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( f `  (
x  .+  y )
) )
2221breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) )  <->  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) )
2316, 22anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
244, 23raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( A. y  e.  ( Base `  r ) ( ( f `  (
x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) )  <->  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) )
2510, 24anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  r ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) ) )
264, 25raleqbidv 2761 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) ( ( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  r ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) ) )
275, 26rabeqbidv 2796 . . 3  |-  ( r  =  R  ->  { f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  r ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) }  =  {
f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B )  |  A. x  e.  B  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) } )
28 df-abv 15598 . . 3  |- AbsVal  =  ( r  e.  Ring  |->  { f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  r ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) } )
29 ovex 5899 . . . 4  |-  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B )  e.  _V
3029rabex 4181 . . 3  |-  { f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B
)  |  A. x  e.  B  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  (
( f `  (
x  .x.  y )
)  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) }  e.  _V
3127, 28, 30fvmpt 5618 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (AbsVal `  R )  =  {
f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B )  |  A. x  e.  B  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x  .+  y )
)  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) } )
321, 31syl5eq 2340 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  A  =  { f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  B )  | 
A. x  e.  B  ( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  .0.  )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x  .x.  y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x  .+  y
) )  <_  (
( f `  x
)  +  ( f `
 y ) ) ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    <_ cle 8884   [,)cico 10674   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416   Ringcrg 15353  AbsValcabv 15597
This theorem is referenced by:  isabv  15600
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-abv 15598
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