MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvge0 Structured version   Unicode version

Theorem abvge0 15918
Description: The absolute value of a number is greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
abvge0  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  X ) )

Proof of Theorem abvge0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2abvfge0 15915 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> ( 0 [,) 
+oo ) )
43ffvelrnda 5873 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5 elrege0 11012 . . 3  |-  ( ( F `  X )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  X )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  X
) ) )
65simprbi 452 . 2  |-  ( ( F `  X )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  ( F `  X
) )
74, 6syl 16 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995    +oocpnf 9122    <_ cle 9126   [,)cico 10923   Basecbs 13474  AbsValcabv 15909
This theorem is referenced by:  abvgt0  15921  abvneg  15927  abvcxp  21314  ostth2lem2  21333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-ico 10927  df-abv 15910
  Copyright terms: Public domain W3C validator