MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvge0 Unicode version

Theorem abvge0 15689
Description: The absolute value of a number is greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
abvge0  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  X ) )

Proof of Theorem abvge0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2abvfge0 15686 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  F : B --> ( 0 [,) 
+oo ) )
4 ffvelrn 5746 . . 3  |-  ( ( F : B --> ( 0 [,)  +oo )  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
53, 4sylan 457 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6 elrege0 10838 . . 3  |-  ( ( F `  X )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  X )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  X
) ) )
76simprbi 450 . 2  |-  ( ( F `  X )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  ( F `  X
) )
85, 7syl 15 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4104   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   RRcr 8826   0cc0 8827    +oocpnf 8954    <_ cle 8958   [,)cico 10750   Basecbs 13245  AbsValcabv 15680
This theorem is referenced by:  abvgt0  15692  abvneg  15698  abvcxp  20876  ostth2lem2  20895
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-ico 10754  df-abv 15681
  Copyright terms: Public domain W3C validator