MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvgt0 Unicode version

Theorem abvgt0 15593
Description: The absolute value of a nonzero number is strictly positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvf.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abveq0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvgt0  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <  ( F `  X ) )

Proof of Theorem abvgt0
StepHypRef Expression
1 abvf.a . . . 4  |-  A  =  (AbsVal `  R )
2 abvf.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
31, 2abvcl 15589 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
433adant3 975 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( F `  X
)  e.  RR )
51, 2abvge0 15590 . . 3  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  0  <_  ( F `  X ) )
653adant3 975 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <_  ( F `  X ) )
7 abveq0.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
81, 2, 7abvne0 15592 . 2  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
( F `  X
)  =/=  0 )
94, 6, 8ne0gt0d 8956 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B  /\  X  =/=  .0.  )  -> 
0  <  ( F `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   RRcr 8736   0cc0 8737    < clt 8867    <_ cle 8868   Basecbs 13148   0gc0g 13400  AbsValcabv 15581
This theorem is referenced by:  abvres  15604  abvcxp  20764  ostth2  20786  ostth3  20787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-ico 10662  df-abv 15582
  Copyright terms: Public domain W3C validator