Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvn0b Structured version   Unicode version

Theorem abvn0b 16367
 Description: Another characterization of domains, hinted at in abvtriv 15934: a nonzero ring is a domain iff it has an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
abvn0b.b AbsVal
Assertion
Ref Expression
abvn0b Domn NzRing

Proof of Theorem abvn0b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 16360 . . 3 Domn NzRing
2 abvn0b.b . . . . 5 AbsVal
3 eqid 2438 . . . . 5
4 eqid 2438 . . . . 5
5 eqid 2438 . . . . 5
6 eqid 2438 . . . . 5
7 domnrng 16361 . . . . 5 Domn
83, 6, 4domnmuln0 16363 . . . . 5 Domn
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8abvtrivd 15933 . . . 4 Domn
10 ne0i 3636 . . . 4
119, 10syl 16 . . 3 Domn
121, 11jca 520 . 2 Domn NzRing
13 n0 3639 . . . . 5
14 neanior 2691 . . . . . . . . 9
15 an4 799 . . . . . . . . . . 11
162, 3, 4, 6abvdom 15931 . . . . . . . . . . . 12
17163expib 1157 . . . . . . . . . . 11
1815, 17syl5bi 210 . . . . . . . . . 10
1918expdimp 428 . . . . . . . . 9
2014, 19syl5bir 211 . . . . . . . 8
2120necon4bd 2668 . . . . . . 7
2221ralrimivva 2800 . . . . . 6
2322exlimiv 1645 . . . . 5
2413, 23sylbi 189 . . . 4
2524anim2i 554 . . 3 NzRing NzRing
263, 6, 4isdomn 16359 . . 3 Domn NzRing
2725, 26sylibr 205 . 2 NzRing Domn
2812, 27impbii 182 1 Domn NzRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  c0 3630  cif 3741   cmpt 4269  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc0 8995  c1 8996  cbs 13474  cmulr 13535  c0g 13728  AbsValcabv 15909  NzRingcnzr 16333  Domncdomn 16345 This theorem is referenced by:  nrgdomn  18712 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ico 10927  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-abv 15910  df-nzr 16334  df-domn 16349
 Copyright terms: Public domain W3C validator