MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvneg Structured version   Unicode version

Theorem abvneg 15923
Description: The absolute value of a negative is the same as that of the positive. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
abvneg.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
abvneg.p  |-  N  =  ( inv g `  R )
Assertion
Ref Expression
abvneg  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  ( N `  X )
)  =  ( F `
 X ) )

Proof of Theorem abvneg
StepHypRef Expression
1 abv0.a . . . . . . 7  |-  A  =  (AbsVal `  R )
21abvrcl 15910 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
32adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
4 rnggrp 15670 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
52, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Grp )
6 abvneg.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
7 abvneg.p . . . . . . 7  |-  N  =  ( inv g `  R )
86, 7grpinvcl 14851 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
95, 8sylan 459 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  X
)  e.  B )
10 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
11 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
12 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
136, 11, 12rng1eq0 15703 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N `  X )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  =  ( 0g
`  R )  -> 
( N `  X
)  =  X ) )
143, 9, 10, 13syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R )  ->  ( N `  X )  =  X ) )
1514imp 420 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( N `  X )  =  X )
1615fveq2d 5733 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( N `  X
) )  =  ( F `  X ) )
176, 11rngidcl 15685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
182, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  A  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
196, 7grpinvcl 14851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
205, 18, 19syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  A  ->  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
211, 6abvcl 15913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B )  -> 
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  e.  RR )
2220, 21mpdan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( N `  ( 1r `  R
) ) )  e.  RR )
2322recnd 9115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( N `  ( 1r `  R
) ) )  e.  CC )
2423sqvald 11521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  A  ->  (
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  x.  ( F `
 ( N `  ( 1r `  R ) ) ) ) )
25 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
261, 6, 25abvmul 15918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B  /\  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ) )
2720, 20, 26mpd3an23 1282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ) )
286, 25, 7, 2, 20, 18rngmneg2 15707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( N `  ( ( N `  ( 1r
`  R ) ) ( .r `  R
) ( 1r `  R ) ) ) )
296, 25, 11, 7, 2, 18rngnegl 15704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  A  ->  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( 1r `  R ) )  =  ( N `  ( 1r `  R ) ) )
3029fveq2d 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  ( N `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( 1r `  R
) ) )  =  ( N `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )
316, 7grpinvinv 14859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( N `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1r `  R ) )
325, 18, 31syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  A  ->  ( N `  ( N `  ( 1r `  R
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
3328, 30, 323eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  A  ->  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  ( 1r `  R ) )
3433fveq2d 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  =  ( F `  ( 1r
`  R ) ) )
3524, 27, 343eqtr2d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  A  ->  (
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( F `  ( 1r `  R ) ) )
3635adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( F `  ( 1r `  R ) ) )
371, 11, 12abv1z 15921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( F `  ( 1r `  R ) )  =  1 )
3836, 37eqtrd 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  1 )
39 sq1 11477 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4038, 39syl6eqr 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
411, 6abvge0 15914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B )  -> 
0  <_  ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )
4220, 41mpdan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  A  ->  0  <_  ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )
43 1re 9091 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
44 0le1 9552 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
45 sq11 11455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( ( ( F `  ( N `
 ( 1r `  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  =  1 ) )
4643, 44, 45mpanr12 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) )  ->  ( (
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  =  1 ) )
4722, 42, 46syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  A  ->  (
( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  1 ) )
4847biimpa 472 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )  -> 
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  1 )
4940, 48syldan 458 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  -> 
( F `  ( N `  ( 1r `  R ) ) )  =  1 )
5049adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  =  1 )
5150oveq1d 6097 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `
 ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  X )
)  =  ( 1  x.  ( F `  X ) ) )
52 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  F  e.  A )
5320adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( N `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
541, 6, 25abvmul 15918 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( N `  ( 1r
`  R ) )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X ) )  =  ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  x.  ( F `
 X ) ) )
5552, 53, 10, 54syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X ) )  =  ( ( F `
 ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  X )
) )
566, 25, 11, 7, 3, 10rngnegl 15704 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X )  =  ( N `  X ) )
5756fveq2d 5733 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  (
( N `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X ) )  =  ( F `  ( N `  X ) ) )
5855, 57eqtr3d 2471 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( ( F `  ( N `  ( 1r
`  R ) ) )  x.  ( F `
 X ) )  =  ( F `  ( N `  X ) ) )
5958adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( ( F `
 ( N `  ( 1r `  R ) ) )  x.  ( F `  X )
)  =  ( F `
 ( N `  X ) ) )
6051, 59eqtr3d 2471 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( 1  x.  ( F `  X
) )  =  ( F `  ( N `
 X ) ) )
611, 6abvcl 15913 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  RR )
6261recnd 9115 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  CC )
6362mulid2d 9107 . . . 4  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( 1  x.  ( F `  X )
)  =  ( F `
 X ) )
6463adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( 1  x.  ( F `  X
) )  =  ( F `  X ) )
6560, 64eqtr3d 2471 . 2  |-  ( ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B
)  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )  ->  ( F `  ( N `  X ) )  =  ( F `
 X ) )
6616, 65pm2.61dane 2683 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  ( N `  X )
)  =  ( F `
 X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    x. cmul 8996    <_ cle 9122   2c2 10050   ^cexp 11383   Basecbs 13470   .rcmulr 13531   0gc0g 13724   Grpcgrp 14686   inv gcminusg 14687   Ringcrg 15661   1rcur 15663  AbsValcabv 15905
This theorem is referenced by:  abvsubtri  15924  ostthlem1  21322  ostth3  21333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-ico 10923  df-seq 11325  df-exp 11384  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-plusg 13543  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-abv 15906
  Copyright terms: Public domain W3C validator