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Theorem abvpropd 15817
Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
abvpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
abvpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
abvpropd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
abvpropd  |-  ( ph  ->  (AbsVal `  K )  =  (AbsVal `  L )
)
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    x, L, y    ph, x, y

Proof of Theorem abvpropd
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvpropd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 abvpropd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 abvpropd.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
4 abvpropd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
51, 2, 3, 4rngpropd 15582 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring ) )
61, 2eqtr3d 2400 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  K
)  =  ( Base `  L ) )
76feq2d 5485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f : (
Base `  K ) --> ( 0 [,)  +oo ) 
<->  f : ( Base `  L ) --> ( 0 [,)  +oo ) ) )
81, 2, 3grpidpropd 14609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
98adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( 0g `  K )  =  ( 0g `  L
) )
109eqeq2d 2377 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  =  ( 0g
`  K )  <->  x  =  ( 0g `  L ) ) )
1110bibi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  K ) )  <-> 
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  L ) ) ) )
124fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  (
x ( .r `  K ) y ) )  =  ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) ) )
1312eqeq1d 2374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( f `  ( x ( .r
`  K ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  <-> 
( f `  (
x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) ) ) )
143fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  (
x ( +g  `  K
) y ) )  =  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) ) )
1514breq1d 4135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) )  <->  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )
1613, 15anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( f `  ( x ( .r
`  L ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
1716anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
( ( f `  ( x ( .r
`  K ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( f `  ( x ( .r
`  L ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
1817ralbidva 2644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( .r
`  K ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( .r
`  L ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
1911, 18anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
2019ralbidva 2644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `  (
x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  L
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) ) ) ) )
211raleqdv 2827 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  (
x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  K
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) ) ) )
2221anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
231, 22raleqbidv 2833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  K
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
242raleqdv 2827 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  (
x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  L
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) ) ) )
2524anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
262, 25raleqbidv 2833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
2720, 23, 263bitr3d 274 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( Base `  K
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  (
Base `  L )
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
287, 27anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  L ) --> ( 0 [,)  +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
295, 28anbi12d 691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )  <->  ( L  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) ) )
30 eqid 2366 . . . . 5  |-  (AbsVal `  K )  =  (AbsVal `  K )
3130abvrcl 15796 . . . 4  |-  ( f  e.  (AbsVal `  K
)  ->  K  e.  Ring )
32 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
33 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
34 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  K
)
35 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
3630, 32, 33, 34, 35isabv 15794 . . . 4  |-  ( K  e.  Ring  ->  ( f  e.  (AbsVal `  K
)  <->  ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
3731, 36biadan2 623 . . 3  |-  ( f  e.  (AbsVal `  K
)  <->  ( K  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
38 eqid 2366 . . . . 5  |-  (AbsVal `  L )  =  (AbsVal `  L )
3938abvrcl 15796 . . . 4  |-  ( f  e.  (AbsVal `  L
)  ->  L  e.  Ring )
40 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
41 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
42 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( .r
`  L )  =  ( .r `  L
)
43 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
4438, 40, 41, 42, 43isabv 15794 . . . 4  |-  ( L  e.  Ring  ->  ( f  e.  (AbsVal `  L
)  <->  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
4539, 44biadan2 623 . . 3  |-  ( f  e.  (AbsVal `  L
)  <->  ( L  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
4629, 37, 453bitr4g 279 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  (AbsVal `  K )  <->  f  e.  (AbsVal `  L ) ) )
4746eqrdv 2364 1  |-  ( ph  ->  (AbsVal `  K )  =  (AbsVal `  L )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   class class class wbr 4125   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   0cc0 8884    + caddc 8887    x. cmul 8889    +oocpnf 9011    <_ cle 9015   [,)cico 10811   Basecbs 13356   +g cplusg 13416   .rcmulr 13417   0gc0g 13610   Ringcrg 15547  AbsValcabv 15791
This theorem is referenced by:  tngnrg  18398  abvpropd2  23589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-plusg 13429  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-abv 15792
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