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Theorem abvpropd 15607
Description: If two structures have the same ring components, they have the same collection of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abvpropd.1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
abvpropd.2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
abvpropd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
abvpropd.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
abvpropd  |-  ( ph  ->  (AbsVal `  K )  =  (AbsVal `  L )
)
Distinct variable groups:    x, y, B    x, K, y    x, L, y    ph, x, y

Proof of Theorem abvpropd
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvpropd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 abvpropd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 abvpropd.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
4 abvpropd.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .r
`  K ) y )  =  ( x ( .r `  L
) y ) )
51, 2, 3, 4rngpropd 15372 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Ring  <->  L  e.  Ring ) )
61, 2eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  K
)  =  ( Base `  L ) )
76feq2d 5380 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( f : (
Base `  K ) --> ( 0 [,)  +oo ) 
<->  f : ( Base `  L ) --> ( 0 [,)  +oo ) ) )
81, 2, 3grpidpropd 14399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0g `  K
)  =  ( 0g
`  L ) )
98adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( 0g `  K )  =  ( 0g `  L
) )
109eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  =  ( 0g
`  K )  <->  x  =  ( 0g `  L ) ) )
1110bibi2d 309 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  K ) )  <-> 
( ( f `  x )  =  0  <-> 
x  =  ( 0g
`  L ) ) ) )
124fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  (
x ( .r `  K ) y ) )  =  ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) ) )
1312eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( f `  ( x ( .r
`  K ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  <-> 
( f `  (
x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) ) ) )
143fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f `  (
x ( +g  `  K
) y ) )  =  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) ) )
1514breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) )  <->  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )
1613, 15anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( f `  ( x ( .r
`  L ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
1716anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
( ( f `  ( x ( .r
`  K ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <-> 
( ( f `  ( x ( .r
`  L ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
1817ralbidva 2559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( .r
`  K ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( f `  ( x ( .r
`  L ) y ) )  =  ( ( f `  x
)  x.  ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )
1911, 18anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
2019ralbidva 2559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  B  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( ( f `  (
x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  L
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) ) ) ) )
211raleqdv 2742 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  (
x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  K
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) ) ) )
2221anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
231, 22raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  K
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
242raleqdv 2742 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  (
x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( +g  `  L
) y ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  ( f `  y
) ) ) ) )
2524anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  ( (
( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
262, 25raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  B  ( (
f `  ( x
( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  L
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
2720, 23, 263bitr3d 274 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( Base `  K
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K
) ( ( f `
 ( x ( .r `  K ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  K ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) )  <->  A. x  e.  (
Base `  L )
( ( ( f `
 x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )
287, 27anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  L ) --> ( 0 [,)  +oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L
) ( ( f `
 ( x ( .r `  L ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  L ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
295, 28anbi12d 691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) )  <->  ( L  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) ) )
30 eqid 2283 . . . . 5  |-  (AbsVal `  K )  =  (AbsVal `  K )
3130abvrcl 15586 . . . 4  |-  ( f  e.  (AbsVal `  K
)  ->  K  e.  Ring )
32 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
33 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( +g  `  K )  =  ( +g  `  K )
34 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .r
`  K )  =  ( .r `  K
)
35 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  K )  =  ( 0g `  K
)
3630, 32, 33, 34, 35isabv 15584 . . . 4  |-  ( K  e.  Ring  ->  ( f  e.  (AbsVal `  K
)  <->  ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
3731, 36biadan2 623 . . 3  |-  ( f  e.  (AbsVal `  K
)  <->  ( K  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  K
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  K ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  K ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  K ) ( ( f `  ( x ( .r `  K
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  K ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
38 eqid 2283 . . . . 5  |-  (AbsVal `  L )  =  (AbsVal `  L )
3938abvrcl 15586 . . . 4  |-  ( f  e.  (AbsVal `  L
)  ->  L  e.  Ring )
40 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
41 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( +g  `  L )  =  ( +g  `  L )
42 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( .r
`  L )  =  ( .r `  L
)
43 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
4438, 40, 41, 42, 43isabv 15584 . . . 4  |-  ( L  e.  Ring  ->  ( f  e.  (AbsVal `  L
)  <->  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
4539, 44biadan2 623 . . 3  |-  ( f  e.  (AbsVal `  L
)  <->  ( L  e. 
Ring  /\  ( f : ( Base `  L
) --> ( 0 [,) 
+oo )  /\  A. x  e.  ( Base `  L ) ( ( ( f `  x
)  =  0  <->  x  =  ( 0g `  L ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  L ) ( ( f `  ( x ( .r `  L
) y ) )  =  ( ( f `
 x )  x.  ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( +g  `  L ) y ) )  <_ 
( ( f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) ) ) )
4629, 37, 453bitr4g 279 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  (AbsVal `  K )  <->  f  e.  (AbsVal `  L ) ) )
4746eqrdv 2281 1  |-  ( ph  ->  (AbsVal `  K )  =  (AbsVal `  L )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    <_ cle 8868   [,)cico 10658   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   Ringcrg 15337  AbsValcabv 15581
This theorem is referenced by:  tngnrg  18185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-abv 15582
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