MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvrcl Unicode version

Theorem abvrcl 15586
Description: Reverse closure for the absolute value set. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
abvf.a  |-  A  =  (AbsVal `  R )
Assertion
Ref Expression
abvrcl  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )

Proof of Theorem abvrcl
Dummy variables  x  y  f  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-abv 15582 . . . 4  |- AbsVal  =  ( r  e.  Ring  |->  { f  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) ( ( ( f `  x )  =  0  <->  x  =  ( 0g `  r ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x )  x.  (
f `  y )
)  /\  ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  <_  ( (
f `  x )  +  ( f `  y ) ) ) ) } )
21dmmptss 5169 . . 3  |-  dom AbsVal  C_  Ring
3 elfvdm 5554 . . 3  |-  ( F  e.  (AbsVal `  R
)  ->  R  e.  dom AbsVal )
42, 3sseldi 3178 . 2  |-  ( F  e.  (AbsVal `  R
)  ->  R  e.  Ring )
5 abvf.a . 2  |-  A  =  (AbsVal `  R )
64, 5eleq2s 2375 1  |-  ( F  e.  A  ->  R  e.  Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    <_ cle 8868   [,)cico 10658   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   Ringcrg 15337  AbsValcabv 15581
This theorem is referenced by:  abvfge0  15587  abveq0  15591  abvmul  15594  abvtri  15595  abv0  15596  abv1z  15597  abvneg  15599  abvsubtri  15600  abvpropd  15607  abvmet  18098  nrgrng  18174  tngnrg  18185  abvcxp  20764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fv 5263  df-abv 15582
  Copyright terms: Public domain W3C validator