Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvres Structured version   Unicode version

Theorem abvres 15932
 Description: The restriction of an absolute value to a subring is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abvres.a AbsVal
abvres.s s
abvres.b AbsVal
Assertion
Ref Expression
abvres SubRing

Proof of Theorem abvres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abvres.b . . 3 AbsVal
21a1i 11 . 2 SubRing AbsVal
3 abvres.s . . . 4 s
43subrgbas 15882 . . 3 SubRing
54adantl 454 . 2 SubRing
6 eqid 2438 . . . 4
73, 6ressplusg 13576 . . 3 SubRing
87adantl 454 . 2 SubRing
9 eqid 2438 . . . 4
103, 9ressmulr 13587 . . 3 SubRing
1110adantl 454 . 2 SubRing
12 subrgsubg 15879 . . . 4 SubRing SubGrp
1312adantl 454 . . 3 SubRing SubGrp
14 eqid 2438 . . . 4
153, 14subg0 14955 . . 3 SubGrp
1613, 15syl 16 . 2 SubRing
173subrgrng 15876 . . 3 SubRing
1817adantl 454 . 2 SubRing
19 abvres.a . . . 4 AbsVal
20 eqid 2438 . . . 4
2119, 20abvf 15916 . . 3
2220subrgss 15874 . . 3 SubRing
23 fssres 5613 . . 3
2421, 22, 23syl2an 465 . 2 SubRing
2514subg0cl 14957 . . . 4 SubGrp
26 fvres 5748 . . . 4
2713, 25, 263syl 19 . . 3 SubRing
2819, 14abv0 15924 . . . 4
2928adantr 453 . . 3 SubRing
3027, 29eqtrd 2470 . 2 SubRing
31 simp1l 982 . . . 4 SubRing
3222adantl 454 . . . . . 6 SubRing
3332sselda 3350 . . . . 5 SubRing
34333adant3 978 . . . 4 SubRing
35 simp3 960 . . . 4 SubRing
3619, 20, 14abvgt0 15921 . . . 4
3731, 34, 35, 36syl3anc 1185 . . 3 SubRing
38 fvres 5748 . . . 4
39383ad2ant2 980 . . 3 SubRing
4037, 39breqtrrd 4241 . 2 SubRing
41 simp1l 982 . . . 4 SubRing
42 simp1r 983 . . . . . 6 SubRing SubRing
4342, 22syl 16 . . . . 5 SubRing
44 simp2l 984 . . . . 5 SubRing
4543, 44sseldd 3351 . . . 4 SubRing
46 simp3l 986 . . . . 5 SubRing
4743, 46sseldd 3351 . . . 4 SubRing
4819, 20, 9abvmul 15922 . . . 4
4941, 45, 47, 48syl3anc 1185 . . 3 SubRing
509subrgmcl 15885 . . . . 5 SubRing
5142, 44, 46, 50syl3anc 1185 . . . 4 SubRing
52 fvres 5748 . . . 4
5351, 52syl 16 . . 3 SubRing
5444, 38syl 16 . . . 4 SubRing
55 fvres 5748 . . . . 5
5646, 55syl 16 . . . 4 SubRing
5754, 56oveq12d 6102 . . 3 SubRing
5849, 53, 573eqtr4d 2480 . 2 SubRing
5919, 20, 6abvtri 15923 . . . 4
6041, 45, 47, 59syl3anc 1185 . . 3 SubRing
616subrgacl 15884 . . . . 5 SubRing
6242, 44, 46, 61syl3anc 1185 . . . 4 SubRing
63 fvres 5748 . . . 4
6462, 63syl 16 . . 3 SubRing
6554, 56oveq12d 6102 . . 3 SubRing
6660, 64, 653brtr4d 4245 . 2 SubRing
672, 5, 8, 11, 16, 18, 24, 30, 40, 58, 66isabvd 15913 1 SubRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601   wss 3322   class class class wbr 4215   cres 4883  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  cr 8994  cc0 8995   caddc 8998   cmul 9000   clt 9125   cle 9126  cbs 13474   ↾s cress 13475   cplusg 13534  cmulr 13535  c0g 13728  SubGrpcsubg 14943  crg 15665  SubRingcsubrg 15869  AbsValcabv 15909 This theorem is referenced by:  subrgnrg  18714  qabsabv  21328 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-ico 10927  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-subg 14946  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-subrg 15871  df-abv 15910
 Copyright terms: Public domain W3C validator