MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac5b Unicode version

Theorem ac5b 8252
Description: Equivalent of Axiom of Choice. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
ac5b.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ac5b  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, f, A

Proof of Theorem ac5b
StepHypRef Expression
1 ac5b.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21uniex 4619 . . 3  |-  U. A  e.  _V
3 numth3 8244 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  e.  dom  card )
42, 3mp1i 11 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  U. A  e. 
dom  card )
5 neirr 2534 . . 3  |-  -.  (/)  =/=  (/)
6 neeq1 2537 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  (/) ) )
76rspccv 2966 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  =/=  (/) ) )
85, 7mtoi 169 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  -.  (/)  e.  A
)
9 ac5num 7810 . 2  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) )
104, 8, 9syl2anc 642 1  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1546    e. wcel 1715    =/= wne 2529   A.wral 2628   _Vcvv 2873   (/)c0 3543   U.cuni 3929   dom cdm 4792   -->wf 5354   ` cfv 5358   cardccrd 7715
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-ac2 8236
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-suc 4501  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-riota 6446  df-recs 6530  df-en 7007  df-card 7719  df-ac 7890
  Copyright terms: Public domain W3C validator