MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac5b Unicode version

Theorem ac5b 8322
Description: Equivalent of Axiom of Choice. (Contributed by NM, 31-Aug-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
ac5b.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ac5b  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) )
Distinct variable group:    x, f, A

Proof of Theorem ac5b
StepHypRef Expression
1 ac5b.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21uniex 4672 . . 3  |-  U. A  e.  _V
3 numth3 8314 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  e.  dom  card )
42, 3mp1i 12 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  U. A  e. 
dom  card )
5 neirr 2580 . . 3  |-  -.  (/)  =/=  (/)
6 neeq1 2583 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  (/) ) )
76rspccv 3017 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  ( (/)  e.  A  -> 
(/)  =/=  (/) ) )
85, 7mtoi 171 . 2  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  -.  (/)  e.  A
)
9 ac5num 7881 . 2  |-  ( ( U. A  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  A )  ->  E. f ( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  x ) )
104, 8, 9syl2anc 643 1  |-  ( A. x  e.  A  x  =/=  (/)  ->  E. f
( f : A --> U. A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   _Vcvv 2924   (/)c0 3596   U.cuni 3983   dom cdm 4845   -->wf 5417   ` cfv 5421   cardccrd 7786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-ac2 8307
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-suc 4555  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6516  df-recs 6600  df-en 7077  df-card 7790  df-ac 7961
  Copyright terms: Public domain W3C validator