Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c4 Unicode version

Theorem ac6c4 8108
 Description: Equivalent of Axiom of Choice. is a collection of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1
ac6c4.2
Assertion
Ref Expression
ac6c4
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ac6c4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1605 . . . 4
2 nfcsb1v 3113 . . . . 5
3 nfcv 2419 . . . . 5
42, 3nfne 2539 . . . 4
5 csbeq1a 3089 . . . . 5
65neeq1d 2459 . . . 4
71, 4, 6cbvral 2760 . . 3
8 n0 3464 . . . . 5
9 nfv 1605 . . . . . 6
10 nfre1 2599 . . . . . 6
112nfel2 2431 . . . . . . . . . 10
125eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10
1311, 12rspce 2879 . . . . . . . . 9
14 eliun 3909 . . . . . . . . 9
1513, 14sylibr 203 . . . . . . . 8
16 rspe 2604 . . . . . . . 8
1715, 16sylancom 648 . . . . . . 7
1817ex 423 . . . . . 6
199, 10, 18exlimd 1803 . . . . 5
208, 19syl5bi 208 . . . 4
2120ralimia 2616 . . 3
227, 21sylbi 187 . 2
23 ac6c4.1 . . 3
24 ac6c4.2 . . . 4
2523, 24iunex 5770 . . 3
26 eleq1 2343 . . 3
2723, 25, 26ac6 8107 . 2
28 ffn 5389 . . . 4
29 nfv 1605 . . . . . 6
302nfel2 2431 . . . . . 6
31 fveq2 5525 . . . . . . 7
3231, 5eleq12d 2351 . . . . . 6
3329, 30, 32cbvral 2760 . . . . 5
3433biimpri 197 . . . 4
3528, 34anim12i 549 . . 3
3635eximi 1563 . 2
3722, 27, 363syl 18 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358  wex 1528   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788  csb 3081  c0 3455  ciun 3905   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255 This theorem is referenced by:  ac6c5  8109  ac9  8110 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-ac2 8089 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-en 6864  df-card 7572  df-ac 7743
 Copyright terms: Public domain W3C validator