MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c4 Unicode version

Theorem ac6c4 8108
Description: Equivalent of Axiom of Choice.  B is a collection  B ( x ) of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1  |-  A  e. 
_V
ac6c4.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ac6c4  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
Distinct variable groups:    A, f, x    B, f
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ac6c4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ z  B  =/=  (/)
2 nfcsb1v 3113 . . . . 5  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
3 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ x (/)
42, 3nfne 2539 . . . 4  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/)
5 csbeq1a 3089 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
65neeq1d 2459 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( B  =/=  (/)  <->  [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/) ) )
71, 4, 6cbvral 2760 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  <->  A. z  e.  A  [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/) )
8 n0 3464 . . . . 5  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/)  <->  E. y  y  e. 
[_ z  /  x ]_ B )
9 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ y  z  e.  A
10 nfre1 2599 . . . . . 6  |-  F/ y E. y  e.  U_  x  e.  A  B
y  e.  [_ z  /  x ]_ B
112nfel2 2431 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  e.  [_ z  /  x ]_ B
125eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  y  e.  [_ z  /  x ]_ B ) )
1311, 12rspce 2879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  e.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
14 eliun 3909 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  B )
1513, 14sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  e.  [_ z  /  x ]_ B )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  B )
16 rspe 2604 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B )
1715, 16sylancom 648 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  e.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B )
1817ex 423 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  (
y  e.  [_ z  /  x ]_ B  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B ) )
199, 10, 18exlimd 1803 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  ->  ( E. y  y  e.  [_ z  /  x ]_ B  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B
y  e.  [_ z  /  x ]_ B ) )
208, 19syl5bi 208 . . . 4  |-  ( z  e.  A  ->  ( [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/)  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B
) )
2120ralimia 2616 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/)  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B )
227, 21sylbi 187 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B
)
23 ac6c4.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
24 ac6c4.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
2523, 24iunex 5770 . . 3  |-  U_ x  e.  A  B  e.  _V
26 eleq1 2343 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
y  e.  [_ z  /  x ]_ B  <->  ( f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B
) )
2723, 25, 26ac6 8107 . 2  |-  ( A. z  e.  A  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e. 
[_ z  /  x ]_ B  ->  E. f
( f : A --> U_ x  e.  A  B  /\  A. z  e.  A  ( f `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B ) )
28 ffn 5389 . . . 4  |-  ( f : A --> U_ x  e.  A  B  ->  f  Fn  A )
29 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ z ( f `  x
)  e.  B
302nfel2 2431 . . . . . 6  |-  F/ x
( f `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B
31 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
f `  x )  =  ( f `  z ) )
3231, 5eleq12d 2351 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( f `  x
)  e.  B  <->  ( f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B
) )
3329, 30, 32cbvral 2760 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  B  <->  A. z  e.  A  ( f `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )
3433biimpri 197 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)
3528, 34anim12i 549 . . 3  |-  ( ( f : A --> U_ x  e.  A  B  /\  A. z  e.  A  ( f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B )  -> 
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3635eximi 1563 . 2  |-  ( E. f ( f : A --> U_ x  e.  A  B  /\  A. z  e.  A  ( f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B
)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3722, 27, 363syl 18 1  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   [_csb 3081   (/)c0 3455   U_ciun 3905    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  ac6c5  8109  ac9  8110
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-en 6864  df-card 7572  df-ac 7743
  Copyright terms: Public domain W3C validator