Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c4 Structured version   Unicode version

Theorem ac6c4 8361
 Description: Equivalent of Axiom of Choice. is a collection of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1
ac6c4.2
Assertion
Ref Expression
ac6c4
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ac6c4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1629 . . . 4
2 nfcsb1v 3283 . . . . 5
3 nfcv 2572 . . . . 5
42, 3nfne 2695 . . . 4
5 csbeq1a 3259 . . . . 5
65neeq1d 2614 . . . 4
71, 4, 6cbvral 2928 . . 3
8 n0 3637 . . . . 5
9 nfv 1629 . . . . . 6
10 nfre1 2762 . . . . . 6
112nfel2 2584 . . . . . . . . . 10
125eleq2d 2503 . . . . . . . . . 10
1311, 12rspce 3047 . . . . . . . . 9
14 eliun 4097 . . . . . . . . 9
1513, 14sylibr 204 . . . . . . . 8
16 rspe 2767 . . . . . . . 8
1715, 16sylancom 649 . . . . . . 7
1817ex 424 . . . . . 6
199, 10, 18exlimd 1824 . . . . 5
208, 19syl5bi 209 . . . 4
2120ralimia 2779 . . 3
227, 21sylbi 188 . 2
23 ac6c4.1 . . 3
24 ac6c4.2 . . . 4
2523, 24iunex 5991 . . 3
26 eleq1 2496 . . 3
2723, 25, 26ac6 8360 . 2
28 ffn 5591 . . . 4
29 nfv 1629 . . . . . 6
302nfel2 2584 . . . . . 6
31 fveq2 5728 . . . . . . 7
3231, 5eleq12d 2504 . . . . . 6
3329, 30, 32cbvral 2928 . . . . 5
3433biimpri 198 . . . 4
3528, 34anim12i 550 . . 3
3635eximi 1585 . 2
3722, 27, 363syl 19 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wex 1550   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  cvv 2956  csb 3251  c0 3628  ciun 4093   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454 This theorem is referenced by:  ac6c5  8362  ac9  8363 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-ac2 8343 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-riota 6549  df-recs 6633  df-en 7110  df-card 7826  df-ac 7997
 Copyright terms: Public domain W3C validator