MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c4 Structured version   Unicode version

Theorem ac6c4 8361
Description: Equivalent of Axiom of Choice.  B is a collection  B ( x ) of nonempty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1  |-  A  e. 
_V
ac6c4.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ac6c4  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
Distinct variable groups:    A, f, x    B, f
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ac6c4
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ z  B  =/=  (/)
2 nfcsb1v 3283 . . . . 5  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
3 nfcv 2572 . . . . 5  |-  F/_ x (/)
42, 3nfne 2695 . . . 4  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/)
5 csbeq1a 3259 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
65neeq1d 2614 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( B  =/=  (/)  <->  [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/) ) )
71, 4, 6cbvral 2928 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  <->  A. z  e.  A  [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/) )
8 n0 3637 . . . . 5  |-  ( [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/)  <->  E. y  y  e. 
[_ z  /  x ]_ B )
9 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ y  z  e.  A
10 nfre1 2762 . . . . . 6  |-  F/ y E. y  e.  U_  x  e.  A  B
y  e.  [_ z  /  x ]_ B
112nfel2 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  e.  [_ z  /  x ]_ B
125eleq2d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  y  e.  [_ z  /  x ]_ B ) )
1311, 12rspce 3047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  e.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  E. x  e.  A  y  e.  B )
14 eliun 4097 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  y  e.  B )
1513, 14sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  e.  [_ z  /  x ]_ B )  -> 
y  e.  U_ x  e.  A  B )
16 rspe 2767 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  U_ x  e.  A  B  /\  y  e.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B )
1715, 16sylancom 649 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  A  /\  y  e.  [_ z  /  x ]_ B )  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B )
1817ex 424 . . . . . 6  |-  ( z  e.  A  ->  (
y  e.  [_ z  /  x ]_ B  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B ) )
199, 10, 18exlimd 1824 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  ->  ( E. y  y  e.  [_ z  /  x ]_ B  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B
y  e.  [_ z  /  x ]_ B ) )
208, 19syl5bi 209 . . . 4  |-  ( z  e.  A  ->  ( [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/)  ->  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B
) )
2120ralimia 2779 . . 3  |-  ( A. z  e.  A  [_ z  /  x ]_ B  =/=  (/)  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B )
227, 21sylbi 188 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  A. z  e.  A  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e.  [_ z  /  x ]_ B
)
23 ac6c4.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
24 ac6c4.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
2523, 24iunex 5991 . . 3  |-  U_ x  e.  A  B  e.  _V
26 eleq1 2496 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  z )  ->  (
y  e.  [_ z  /  x ]_ B  <->  ( f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B
) )
2723, 25, 26ac6 8360 . 2  |-  ( A. z  e.  A  E. y  e.  U_  x  e.  A  B y  e. 
[_ z  /  x ]_ B  ->  E. f
( f : A --> U_ x  e.  A  B  /\  A. z  e.  A  ( f `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B ) )
28 ffn 5591 . . . 4  |-  ( f : A --> U_ x  e.  A  B  ->  f  Fn  A )
29 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ z ( f `  x
)  e.  B
302nfel2 2584 . . . . . 6  |-  F/ x
( f `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B
31 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
f `  x )  =  ( f `  z ) )
3231, 5eleq12d 2504 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( f `  x
)  e.  B  <->  ( f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B
) )
3329, 30, 32cbvral 2928 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  B  <->  A. z  e.  A  ( f `  z
)  e.  [_ z  /  x ]_ B )
3433biimpri 198 . . . 4  |-  ( A. z  e.  A  (
f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)
3528, 34anim12i 550 . . 3  |-  ( ( f : A --> U_ x  e.  A  B  /\  A. z  e.  A  ( f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B )  -> 
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3635eximi 1585 . 2  |-  ( E. f ( f : A --> U_ x  e.  A  B  /\  A. z  e.  A  ( f `  z )  e.  [_ z  /  x ]_ B
)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3722, 27, 363syl 19 1  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956   [_csb 3251   (/)c0 3628   U_ciun 4093    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454
This theorem is referenced by:  ac6c5  8362  ac9  8363
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-ac2 8343
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-suc 4587  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-riota 6549  df-recs 6633  df-en 7110  df-card 7826  df-ac 7997
  Copyright terms: Public domain W3C validator