MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6c5 Structured version   Unicode version

Theorem ac6c5 8354
Description: Equivalent of Axiom of Choice.  B is a collection  B ( x ) of nonempty sets. Remark after Theorem 10.46 of [TakeutiZaring] p. 98. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1  |-  A  e. 
_V
ac6c4.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ac6c5  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
Distinct variable groups:    A, f, x    B, f
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ac6c5
StepHypRef Expression
1 ac6c4.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 ac6c4.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
31, 2ac6c4 8353 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
4 simpr 448 . . 3  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
54eximi 1585 . 2  |-  ( E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)  ->  E. f A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
63, 5syl 16 1  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948   (/)c0 3620    Fn wfn 5441   ` cfv 5446
This theorem is referenced by:  konigthlem  8435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-ac2 8335
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-riota 6541  df-recs 6625  df-en 7102  df-card 7818  df-ac 7989
  Copyright terms: Public domain W3C validator