Theorem ac6n 4767

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 4766.

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	|- A e. V
ac6s.2	|- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
ac6n	|- (A.f(f:A-->B -> E.x e. A ps) -> E.x e. A A.y e. B ph)

Distinct variable groups:   x,y,f,A   x,B,y,f   ph,f   ps,y

Proof of Theorem ac6n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . . 4 |- A e. V
2		ac6s.2	. . . . 5 |- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))
3	2	negbid 613	. . . 4 |- (y = (f` x) -> (-. ph <-> -. ps))
4	1, 3	ac6s 4766	. . 3 |- (A.x e. A E.y e. B -. ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A -. ps))
5	4	con3i 98	. 2 |- (-. E.f(f:A-->B /\ A.x e. A -. ps) -> -. A.x e. A E.y e. B -. ph)
6		dfrex2 1659	. . . . 5 |- (E.x e. A ps <-> -. A.x e. A -. ps)
7	6	imbi2i 185	. . . 4 |- ((f:A-->B -> E.x e. A ps) <-> (f:A-->B -> -. A.x e. A -. ps))
8	7	albii 1001	. . 3 |- (A.f(f:A-->B -> E.x e. A ps) <-> A.f(f:A-->B -> -. A.x e. A -. ps))
9		alinexa 1044	. . 3 |- (A.f(f:A-->B -> -. A.x e. A -. ps) <-> -. E.f(f:A-->B /\ A.x e. A -. ps))
10	8, 9	bitr 173	. 2 |- (A.f(f:A-->B -> E.x e. A ps) <-> -. E.f(f:A-->B /\ A.x e. A -. ps))
11		dfral2 1658	. . . 4 |- (A.y e. B ph <-> -. E.y e. B -. ph)
12	11	rexbii 1671	. . 3 |- (E.x e. A A.y e. B ph <-> E.x e. A -. E.y e. B -. ph)
13		rexnal 1657	. . 3 |- (E.x e. A -. E.y e. B -. ph <-> -. A.x e. A E.y e. B -. ph)
14	12, 13	bitr 173	. 2 |- (E.x e. A A.y e. B ph <-> -. A.x e. A E.y e. B -. ph)
15	5, 10, 14	3imtr4 219	1 |- (A.f(f:A-->B -> E.x e. A ps) -> E.x e. A A.y e. B ph)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814  -->wf 3184  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  metcnp4 7967  nmobndseqi 8436

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-r1 4653  df-rank 4654

Copyright terms: Public domain