MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6n Unicode version

Theorem ac6n 8112
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Contrapositive of ac6s 8111. (Contributed by NM, 10-Jun-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1  |-  A  e. 
_V
ac6s.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6n  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, B, f    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6n
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 ac6s.2 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
32notbid 285 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
41, 3ac6s 8111 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps ) )
54con3i 127 . 2  |-  ( -. 
E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps )  ->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
6 dfrex2 2556 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  ps  <->  -. 
A. x  e.  A  -.  ps )
76imbi2i 303 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps ) )
87albii 1553 . . 3  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  A. f ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps ) )
9 alinexa 1565 . . 3  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  -.  A. x  e.  A  -.  ps )  <->  -.  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps )
)
108, 9bitri 240 . 2  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  <->  -. 
E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  -.  ps ) )
11 dfral2 2555 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ph  <->  -.  E. y  e.  B  -.  ph )
1211rexbii 2568 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  E. x  e.  A  -.  E. y  e.  B  -.  ph )
13 rexnal 2554 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  -.  E. y  e.  B  -.  ph  <->  -. 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
1412, 13bitri 240 . 2  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph  <->  -.  A. x  e.  A  E. y  e.  B  -.  ph )
155, 10, 143imtr4i 257 1  |-  ( A. f ( f : A --> B  ->  E. x  e.  A  ps )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   -->wf 5251   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  nmobndseqiOLD  21358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-en 6864  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-ac 7743
  Copyright terms: Public domain W3C validator