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Theorem ac6num 8106
Description: A version of ac6 8107 which takes the choice as a hypothesis. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6num.1  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6num  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    y, f, B, x    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)    V( x, y, f)

Proof of Theorem ac6num
Dummy variables  g 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfiu1 3933 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }
21nfel1 2429 . . . . . . . 8  |-  F/ x U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card
3 ssiun2 3945 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  { y  e.  B  |  ph }  C_  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }
)
4 ssexg 4160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y  e.  B  |  ph }  C_  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card )  ->  { y  e.  B  |  ph }  e.  _V )
54expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  -> 
( { y  e.  B  |  ph }  C_ 
U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  ->  { y  e.  B  |  ph }  e.  _V )
)
63, 5syl5 28 . . . . . . . 8  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  -> 
( x  e.  A  ->  { y  e.  B  |  ph }  e.  _V ) )
72, 6ralrimi 2624 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  ->  A. x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  _V )
8 dfiun2g 3935 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  _V  ->  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  =  U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  { y  e.  B  |  ph } } )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  ->  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  =  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  { y  e.  B  |  ph } } )
10 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  =  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )
1110rnmpt 4925 . . . . . . 7  |-  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  =  {
z  |  E. x  e.  A  z  =  { y  e.  B  |  ph } }
1211unieqi 3837 . . . . . 6  |-  U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  = 
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  { y  e.  B  |  ph } }
139, 12syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  ->  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  =  U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) )
14 id 19 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  ->  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card )
1513, 14eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  ->  U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  dom  card )
16153ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  U. ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  e.  dom  card )
17 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
18 necom 2527 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  B  |  ph }  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  {
y  e.  B  |  ph } )
19 rabn0 3474 . . . . . . . 8  |-  ( { y  e.  B  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  B  ph )
20 df-ne 2448 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  =/=  { y  e.  B  |  ph }  <->  -.  (/)  =  {
y  e.  B  |  ph } )
2118, 19, 203bitr3i 266 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  -.  (/)  =  { y  e.  B  |  ph }
)
2221ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  -.  (/)  =  {
y  e.  B  |  ph } )
23 ralnex 2553 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  -.  (/)  =  { y  e.  B  |  ph }  <->  -. 
E. x  e.  A  (/)  =  { y  e.  B  |  ph }
)
2422, 23bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  -.  E. x  e.  A  (/)  =  {
y  e.  B  |  ph } )
2517, 24sylib 188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  -.  E. x  e.  A  (/)  =  {
y  e.  B  |  ph } )
26 0ex 4150 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
2710elrnmpt 4926 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  <->  E. x  e.  A  (/)  =  {
y  e.  B  |  ph } ) )
2826, 27ax-mp 8 . . . 4  |-  ( (/)  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
)  <->  E. x  e.  A  (/)  =  { y  e.  B  |  ph }
)
2925, 28sylnibr 296 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  -.  (/)  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) )
30 ac5num 7663 . . 3  |-  ( ( U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  e.  dom  card  /\  -.  (/)  e.  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  E. g ( g : ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
) --> U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z ) )
3116, 29, 30syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. g
( g : ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) --> U.
ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
)  /\  A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
) ( g `  z )  e.  z ) )
32 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( g : ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) --> U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  -> 
g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) )
3332anim1i 551 . . . . 5  |-  ( ( g : ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) --> U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z )  ->  (
g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z ) )
3473ad2ant2 977 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  A. x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  _V )
35 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( g `  z
)  =  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )
36 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  z  =  { y  e.  B  |  ph } )
3735, 36eleq12d 2351 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { y  e.  B  |  ph }  ->  ( ( g `  z )  e.  z  <-> 
( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  {
y  e.  B  |  ph } ) )
3810, 37ralrnmpt 5669 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  _V  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `  z )  e.  z  <->  A. x  e.  A  ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e. 
{ y  e.  B  |  ph } ) )
3934, 38syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z  <->  A. x  e.  A  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  {
y  e.  B  |  ph } ) )
4039anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( (
g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z )  <->  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
)  /\  A. x  e.  A  ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e. 
{ y  e.  B  |  ph } ) ) )
4133, 40syl5ib 210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( (
g : ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) --> U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z )  ->  (
g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) ) )
423sseld 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  {
y  e.  B  |  ph }  ->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e. 
U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph } ) )
4342ralimia 2616 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  A. x  e.  A  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph } )
4443ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph } )
45 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }
46 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )
4746, 1nfel 2427 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }
48 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  =  [_ z  /  x ]_ ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )
4948eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  <->  [_ z  /  x ]_ ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph } ) )
5045, 47, 49cbvral 2760 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  <->  A. z  e.  A  [_ z  /  x ]_ (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }
)
5144, 50sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  A. z  e.  A  [_ z  /  x ]_ ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph } )
52 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ z
( g `  {
y  e.  B  |  ph } )
5352, 46, 48cbvmpt 4110 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )  =  ( z  e.  A  |->  [_ z  /  x ]_ (
g `  { y  e.  B  |  ph }
) )
5453fmpt 5681 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  A  [_ z  /  x ]_ ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
)  e.  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  <->  ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph } )
5551, 54sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph } )
56 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  A  e.  V )
57 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card )
58 fex2 5401 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  /\  A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card )  ->  (
x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )  e. 
_V )
5955, 56, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) )  e. 
_V )
60 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  B  |  ph }  C_  B
6160sseli 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e.  {
y  e.  B  |  ph }  ->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e.  B )
6261ralimi 2618 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  A. x  e.  A  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  B
)
6362ad2antll 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  B
)
64 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )  =  ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )
6564fmpt 5681 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  B  <->  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) ) : A --> B )
6663, 65sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> B )
67 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
6867elrabsf 3029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e.  {
y  e.  B  |  ph }  <->  ( ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
)  e.  B  /\  [. ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  /  y ]. ph ) )
6968simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  e.  {
y  e.  B  |  ph }  ->  [. ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
)  /  y ]. ph )
7069ralimi 2618 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph }  ->  A. x  e.  A  [. ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  /  y ]. ph )
7170ad2antll 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  A. x  e.  A  [. ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  /  y ]. ph )
7266, 71jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  /  y ]. ph ) )
73 feq1 5375 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  ( f : A --> B  <->  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) ) : A --> B ) )
74 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) )
7574nfeq2 2430 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )
76 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
77 ac6num.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
7876, 77sbcie 3025 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  ps )
79 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  ( f `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) ) `  x ) )
80 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
)  e.  _V
8164fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) ) `  x
)  =  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )
8280, 81mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  |->  ( g `  {
y  e.  B  |  ph } ) ) `  x )  =  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )
8379, 82sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  =  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )
84 dfsbcq 2993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x )  =  ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  -> 
( [. ( f `  x )  /  y ]. ph  <->  [. ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  / 
y ]. ph ) )
8583, 84syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  /  y ]. ph ) )
8678, 85syl5bbr 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
) )  /\  x  e.  A )  ->  ( ps 
<-> 
[. ( g `  { y  e.  B  |  ph } )  / 
y ]. ph ) )
8775, 86ralbida 2557 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  ( A. x  e.  A  ps  <->  A. x  e.  A  [. ( g `
 { y  e.  B  |  ph }
)  /  y ]. ph ) )
8873, 87anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( g `  {
y  e.  B  |  ph } )  /  y ]. ph ) ) )
8988spcegv 2869 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) )  e. 
_V  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  ( g `  { y  e.  B  |  ph } ) ) : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  /  y ]. ph )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
9059, 72, 89sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  { y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( g  Fn  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } ) )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
9190ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( (
g  Fn  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. x  e.  A  (
g `  { y  e.  B  |  ph }
)  e.  { y  e.  B  |  ph } )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
9241, 91syld 40 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( (
g : ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) --> U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  (
x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
9392exlimdv 1664 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  ( E. g ( g : ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph }
) --> U. ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } )  /\  A. z  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { y  e.  B  |  ph } ) ( g `
 z )  e.  z )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
9431, 93mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  U_ x  e.  A  {
y  e.  B  |  ph }  e.  dom  card  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991   [_csb 3081    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   U_ciun 3905    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  ac6  8107  ptcmplem3  17748
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-en 6864  df-card 7572
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