Theorem ac6s 4766

Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 4734, we derive this strong version of ac6 4765 that doesn't require B to be a set.

Hypotheses

Ref	Expression
ac6s.1	|- A e. V
ac6s.2	|- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
ac6s	|- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))

Distinct variable groups:   x,y,f,A   x,B,y,f   ph,f   ps,y

Proof of Theorem ac6s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ac6s.1	. . 3 |- A e. V
2	1	bnd2 4734	. 2 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph))
3		visset 1816	. . . . . 6 |- z e. V
4		ac6s.2	. . . . . 6 |- (y = (f` x) -> (ph <-> ps))
5	1, 3, 4	ac6 4765	. . . . 5 |- (A.x e. A E.y e. z ph -> E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps))
6	5	anim2i 335	. . . 4 |- ((z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph) -> (z (_ B /\ E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps)))
7	6	19.22i 1042	. . 3 |- (E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph) -> E.z(z (_ B /\ E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps)))
8		fss 3641	. . . . . . . 8 |- ((f:A-->z /\ z (_ B) -> f:A-->B)
9	8	expcom 374	. . . . . . 7 |- (z (_ B -> (f:A-->z -> f:A-->B))
10	9	anim1d 562	. . . . . 6 |- (z (_ B -> ((f:A-->z /\ A.x e. A ps) -> (f:A-->B /\ A.x e. A ps)))
11	10	19.22dv 1292	. . . . 5 |- (z (_ B -> (E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps)))
12	11	imp 350	. . . 4 |- ((z (_ B /\ E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps)) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))
13	12	19.23aiv 1297	. . 3 |- (E.z(z (_ B /\ E.f(f:A-->z /\ A.x e. A ps)) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))
14	7, 13	syl 10	. 2 |- (E.z(z (_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph) -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))
15	2, 14	syl 10	1 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.f(f:A-->B /\ A.x e. A ps))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050  -->wf 3184  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  ac6n 4767  ac6s2 4768  ac6sf 4770  infcvglem1 7221  metelcls 7962

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-r1 4653  df-rank 4654

Copyright terms: Public domain