MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6s Unicode version

Theorem ac6s 8156
Description: Equivalent of Axiom of Choice. Using the Boundedness Axiom bnd2 7608, we derive this strong version of ac6 8152 that doesn't require  B to be a set. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6s.1  |-  A  e. 
_V
ac6s.2  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6s  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, B, f    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6s
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6s.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
21bnd2 7608 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
3 vex 2825 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
4 ac6s.2 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
51, 3, 4ac6 8152 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph  ->  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) )
65anim2i 552 . . 3  |-  ( ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  ->  ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
76eximi 1567 . 2  |-  ( E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  ->  E. z ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
8 fss 5435 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> z  /\  z  C_  B )  -> 
f : A --> B )
98expcom 424 . . . . . 6  |-  ( z 
C_  B  ->  (
f : A --> z  -> 
f : A --> B ) )
109anim1d 547 . . . . 5  |-  ( z 
C_  B  ->  (
( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps )  -> 
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
1110eximdv 1613 . . . 4  |-  ( z 
C_  B  ->  ( E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
1211imp 418 . . 3  |-  ( ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
1312exlimiv 1625 . 2  |-  ( E. z ( z  C_  B  /\  E. f ( f : A --> z  /\  A. x  e.  A  ps ) )  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
142, 7, 133syl 18 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   E.wrex 2578   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   -->wf 5288   ` cfv 5292
This theorem is referenced by:  ac6n  8157  ac6s2  8158  ac6sg  8160  ac6sf  8161  nmounbseqiOLD  21411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-reg 7351  ax-inf2 7387  ax-ac2 8134
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-en 6907  df-r1 7481  df-rank 7482  df-card 7617  df-ac 7788
  Copyright terms: Public domain W3C validator