Theorem ac6s4 4771

Description: Generalization of the Axiom of Choice to proper classes. B is a collection B(x) of nonempty, possible proper classes.

Hypothesis

Ref	Expression
ac6s4.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ac6s4	|- (A.x e. A B =/= (/) -> E.f(f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. B))

Distinct variable groups:   x,f,A   B,f

Proof of Theorem ac6s4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0 2292	. . 3 |- (B =/= (/) <-> E.y y e. B)
2	1	ralbii 1670	. 2 |- (A.x e. A B =/= (/) <-> A.x e. A E.y y e. B)
3		ac6s4.1	. . 3 |- A e. V
4		eleq1 1537	. . 3 |- (y = (f` x) -> (y e. B <-> (f` x) e. B))
5	3, 4	ac6s2 4768	. 2 |- (A.x e. A E.y y e. B -> E.f(f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. B))
6	2, 5	sylbi 199	1 |- (A.x e. A B =/= (/) -> E.f(f Fn A /\ A.x e. A (f` x) e. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  E.wex 982   =/= wne 1588  A.wral 1648  Vcvv 1814  (/)c0 2283   Fn wfn 3183  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  ac6s5 4772  ac9s 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-r1 4653  df-rank 4654

Copyright terms: Public domain