MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6sf Unicode version

Theorem ac6sf 8206
Description: Version of ac6 8197 with bound-variable hypothesis. (Contributed by NM, 2-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6sf.1  |-  F/ y ps
ac6sf.2  |-  A  e. 
_V
ac6sf.3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sf  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, B, f    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6sf
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvrexsv 2852 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph )
21ralbii 2643 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [ z  /  y ] ph )
3 ac6sf.2 . . 3  |-  A  e. 
_V
4 ac6sf.1 . . . 4  |-  F/ y ps
5 ac6sf.3 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
64, 5sbhypf 2909 . . 3  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [ z  /  y ] ph  <->  ps ) )
73, 6ac6s 8201 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
82, 7sylbi 187 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1541   F/wnf 1544    = wceq 1642   [wsb 1648    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   _Vcvv 2864   -->wf 5333   ` cfv 5337
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-reg 7396  ax-inf2 7432  ax-ac2 8179
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-en 6952  df-r1 7526  df-rank 7527  df-card 7662  df-ac 7833
  Copyright terms: Public domain W3C validator