MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6sf Unicode version

Theorem ac6sf 8329
Description: Version of ac6 8320 with bound-variable hypothesis. (Contributed by NM, 2-Mar-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6sf.1  |-  F/ y ps
ac6sf.2  |-  A  e. 
_V
ac6sf.3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sf  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A    x, y, B, f    ph, f
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, y, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6sf
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cbvrexsv 2908 . . 3  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph )
21ralbii 2694 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [ z  /  y ] ph )
3 ac6sf.2 . . 3  |-  A  e. 
_V
4 ac6sf.1 . . . 4  |-  F/ y ps
5 ac6sf.3 . . . 4  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
64, 5sbhypf 2965 . . 3  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [ z  /  y ] ph  <->  ps ) )
73, 6ac6s 8324 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. z  e.  B  [
z  /  y ]
ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
82, 7sylbi 188 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547   F/wnf 1550    = wceq 1649   [wsb 1655    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   _Vcvv 2920   -->wf 5413   ` cfv 5417
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-reg 7520  ax-inf2 7556  ax-ac2 8303
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-en 7073  df-r1 7650  df-rank 7651  df-card 7786  df-ac 7957
  Copyright terms: Public domain W3C validator