MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac6sg Unicode version

Theorem ac6sg 8115
Description: ac6s 8111 with sethood as antecedent. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6sg.1  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sg  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, x    B, f, x, y    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)    V( x, y, f)

Proof of Theorem ac6sg
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2736 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
2 feq2 5376 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
f : z --> B  <-> 
f : A --> B ) )
3 raleq 2736 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ( A. x  e.  z  ps 
<-> 
A. x  e.  A  ps ) )
42, 3anbi12d 691 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  (
( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
54exbidv 1612 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( E. f ( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps ) 
<->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
61, 5imbi12d 311 . 2  |-  ( z  =  A  ->  (
( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps )
)  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) ) )
7 vex 2791 . . 3  |-  z  e. 
_V
8 ac6sg.1 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
97, 8ac6s 8111 . 2  |-  ( A. x  e.  z  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : z --> B  /\  A. x  e.  z  ps ) )
106, 9vtoclg 2843 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   -->wf 5251   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  acsmapd  14281  surjsec2  25120  bwt2  25592  ac6gf  26411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-en 6864  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-ac 7743
  Copyright terms: Public domain W3C validator