Theorem ac7 4735

Description: An Axiom of Choice equivalent similar to the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49.

Assertion

Ref	Expression
ac7	|- E.f(f (_ x /\ f Fn dom x)

Distinct variable group:   x,f

Proof of Theorem ac7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq2 4718	. . . . 5 |- (E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
2	1	albii 998	. . . 4 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) <-> A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
3		aceq6a 4728	. . . 4 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
4	2, 3	sylbi 199	. . 3 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
5	4	19.21bi 1059	. 2 |- (A.xE.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u) -> E.f(f (_ x /\ f Fn dom x))
6		ac2 4733	. 2 |- E.yA.z e. x A.w e. z E!v e. z E.u e. y (z e. u /\ v e. u)
7	5, 6	mpg 985	1 |- E.f(f (_ x /\ f Fn dom x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 953   e. wcel 957  E.wex 979   =/= wne 1584  A.wral 1644  E.wrex 1645  E!wreu 1646   (_ wss 2045  (/)c0 2278  dom cdm 3167   Fn wfn 3174

This theorem is referenced by:  ac7g 4736  ac4 4737  ac8 4750  ackm 4769

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-ac 4731

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-fv 3195

Copyright terms: Public domain