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Theorem aceq0 7761
Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. The right-hand side is our original ax-ac 8101. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
aceq0  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, u, t

Proof of Theorem aceq0
StepHypRef Expression
1 aceq1 7760 . 2  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. x A. z ( E. x
( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
2 equequ2 1669 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  x  ->  (
u  =  v  <->  u  =  x ) )
32bibi2d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  x  ->  (
( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t
)  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  v )  <->  ( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  x
) ) )
4 elequ2 1701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  (
w  e.  t  <->  w  e.  x ) )
54anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
( u  e.  w  /\  w  e.  t
)  <->  ( u  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
6 elequ2 1701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  (
u  e.  t  <->  u  e.  x ) )
7 elequ1 1699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  x  ->  (
t  e.  y  <->  x  e.  y ) )
86, 7anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  x  ->  (
( u  e.  t  /\  t  e.  y )  <->  ( u  e.  x  /\  x  e.  y ) ) )
95, 8anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  x  ->  (
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
) ) )
109cbvexv 1956 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  ( u  e.  x  /\  x  e.  y
) ) )
1110bibi1i 305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  x )  <->  ( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  u  =  x
) )
123, 11syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t
)  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  v )  <->  ( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  u  =  x
) ) )
1312albidv 1615 . . . . . . 7  |-  ( v  =  x  ->  ( A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
)  <->  A. u ( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  u  =  x
) ) )
14 elequ1 1699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  e.  w  <->  z  e.  w ) )
1514anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  e.  w  /\  w  e.  x
)  <->  ( z  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
16 elequ1 1699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  z  ->  (
u  e.  x  <->  z  e.  x ) )
1716anbi1d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  e.  x  /\  x  e.  y
)  <->  ( z  e.  x  /\  x  e.  y ) ) )
1815, 17anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  z  ->  (
( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
) ) )
1918exbidv 1616 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  ( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  ( z  e.  x  /\  x  e.  y
) ) ) )
20 equequ1 1667 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  x  <->  z  =  x ) )
2119, 20bibi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  z  ->  (
( E. x ( ( u  e.  w  /\  w  e.  x
)  /\  ( u  e.  x  /\  x  e.  y ) )  <->  u  =  x )  <->  ( E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
2221cbvalv 1955 . . . . . . 7  |-  ( A. u ( E. x
( ( u  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
u  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  u  =  x
)  <->  A. z ( E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) )
2313, 22syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( v  =  x  ->  ( A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
)  <->  A. z ( E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
2423cbvexv 1956 . . . . 5  |-  ( E. v A. u ( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  v )  <->  E. x A. z ( E. x
( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) )
2524imbi2i 303 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) )  <->  ( (
z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. x A. z
( E. x ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  x  e.  y ) )  <->  z  =  x ) ) )
26252albii 1557 . . 3  |-  ( A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. v A. u
( E. t ( ( u  e.  w  /\  w  e.  t
)  /\  ( u  e.  t  /\  t  e.  y ) )  <->  u  =  v ) )  <->  A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. x A. z ( E. x
( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
2726exbii 1572 . 2  |-  ( E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. x A. z ( E. x
( ( z  e.  w  /\  w  e.  x )  /\  (
z  e.  x  /\  x  e.  y )
)  <->  z  =  x ) ) )
281, 27bitr4i 243 1  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z A. w ( ( z  e.  w  /\  w  e.  x
)  ->  E. v A. u ( E. t
( ( u  e.  w  /\  w  e.  t )  /\  (
u  e.  t  /\  t  e.  y )
)  <->  u  =  v
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558
This theorem is referenced by:  dfac0  7775  ac2  8103
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563
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