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Theorem aceq2 7746
Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
aceq2  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
Distinct variable group:    x, y, z, w, v, u

Proof of Theorem aceq2
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2548 . . . . 5  |-  ( A. t  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. t ( t  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
2 19.23v 1832 . . . . 5  |-  ( A. t ( t  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) )  <->  ( E. t  t  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
31, 2bitri 240 . . . 4  |-  ( A. t  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  ( E. t  t  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
4 biidd 228 . . . . 5  |-  ( w  =  t  ->  ( E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
)  <->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
54cbvralv 2764 . . . 4  |-  ( A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. t  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
)
6 n0 3464 . . . . 5  |-  ( z  =/=  (/)  <->  E. t  t  e.  z )
7 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  u  ->  (
z  e.  v  <->  z  e.  u ) )
8 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  u  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  u ) )
97, 8anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  u  ->  (
( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  ( z  e.  u  /\  w  e.  u ) ) )
109cbvrexv 2765 . . . . . . 7  |-  ( E. v  e.  y  ( z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  w  e.  u )
)
1110reubii 2726 . . . . . 6  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! w  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  w  e.  u )
)
12 eleq1 2343 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  v  ->  (
w  e.  u  <->  v  e.  u ) )
1312anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  v  ->  (
( z  e.  u  /\  w  e.  u
)  <->  ( z  e.  u  /\  v  e.  u ) ) )
1413rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( w  =  v  ->  ( E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  w  e.  u
)  <->  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
1514cbvreuv 2766 . . . . . 6  |-  ( E! w  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  w  e.  u )  <->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
)
1611, 15bitri 240 . . . . 5  |-  ( E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )  <->  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )
)
176, 16imbi12i 316 . . . 4  |-  ( ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
)  <->  ( E. t 
t  e.  z  ->  E! v  e.  z  E. u  e.  y 
( z  e.  u  /\  v  e.  u
) ) )
183, 5, 173bitr4i 268 . . 3  |-  ( A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
1918ralbii 2567 . 2  |-  ( A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  (
z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
2019exbii 1569 1  |-  ( E. y A. z  e.  x  A. w  e.  z  E! v  e.  z  E. u  e.  y  ( z  e.  u  /\  v  e.  u )  <->  E. y A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  e.  z  E. v  e.  y  (
z  e.  v  /\  w  e.  v )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   (/)c0 3455
This theorem is referenced by:  dfac7  7758  ac3  8088
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-v 2790  df-dif 3155  df-nul 3456
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