Theorem aceq4 4744

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The left-hand side is similar to the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The right-hand side is Axiom AC of [BellMachover] p. 488. The proof does not depend on AC.

Assertion

Ref	Expression
aceq4	|- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))

Distinct variable group:   x,f,z

Proof of Theorem aceq4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq3 4743	. 2 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
2		fveq1 3729	. . . . . . . . 9 |- (f = y -> (f` z) = (y` z))
3	2	eleq1d 1543	. . . . . . . 8 |- (f = y -> ((f` z) e. z <-> (y` z) e. z))
4	3	imbi2d 614	. . . . . . 7 |- (f = y -> ((z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> (z =/= (/) -> (y` z) e. z)))
5	4	ralbidv 1666	. . . . . 6 |- (f = y -> (A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> A.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z)))
6	5	cbvexv 1317	. . . . 5 |- (E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z))
7		fveq2 3730	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = z -> (y` w) = (y` z))
8		eqid 1478	. . . . . . . . . . . . 13 |- {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}
9		fvex 3738	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y` z) e. V
10	7, 8, 9	fvopab4 3786	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. x -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) = (y` z))
11	10	eleq1d 1543	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. x -> (({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z <-> (y` z) e. z))
12	11	imbi2d 614	. . . . . . . . . 10 |- (z e. x -> ((z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z) <-> (z =/= (/) -> (y` z) e. z)))
13	12	ralbiia 1676	. . . . . . . . 9 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z) <-> A.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z))
14	13	anbi2i 482	. . . . . . . 8 |- (({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z)) <-> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z)))
15		fvex 3738	. . . . . . . . 9 |- (y` w) e. V
16	15, 8	fnopab2 3624	. . . . . . . 8 |- {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x
17	14, 16	mpbiran 730	. . . . . . 7 |- (({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z)) <-> A.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z))
18		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- x e. V
19	18	opabex2 3616	. . . . . . . 8 |- {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} e. V
20		fneq1 3588	. . . . . . . . 9 |- (f = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} -> (f Fn x <-> {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x))
21		fveq1 3729	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} -> (f` z) = ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z))
22	21	eleq1d 1543	. . . . . . . . . . 11 |- (f = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} -> ((f` z) e. z <-> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z))
23	22	imbi2d 614	. . . . . . . . . 10 |- (f = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} -> ((z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z)))
24	23	ralbidv 1666	. . . . . . . . 9 |- (f = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} -> (A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z)))
25	20, 24	anbi12d 630	. . . . . . . 8 |- (f = {<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} -> ((f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)) <-> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z))))
26	19, 25	cla4ev 1872	. . . . . . 7 |- (({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))} Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.w, v>. | (w e. x /\ v = (y` w))}` z) e. z)) -> E.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))
27	17, 26	sylbir 201	. . . . . 6 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z) -> E.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))
28	27	19.23aiv 1297	. . . . 5 |- (E.yA.z e. x (z =/= (/) -> (y` z) e. z) -> E.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))
29	6, 28	sylbi 199	. . . 4 |- (E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) -> E.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))
30		pm3.27 323	. . . . 5 |- ((f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)) -> A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
31	30	19.22i 1042	. . . 4 |- (E.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)) -> E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
32	29, 31	impbi 157	. . 3 |- (E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> E.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))
33	32	albii 1001	. 2 |- (A.xE.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> A.xE.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))
34	1, 33	bitr 173	1 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.f(f Fn x /\ A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982   =/= wne 1588  A.wral 1648   (_ wss 2050  (/)c0 2283  {copab 2671  dom cdm 3176   Fn wfn 3183  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  aceq5 4750  ac5 4762

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain