Theorem aceq5lem5 4739

Description: Lemma for aceq5 4740.

Hypotheses

Ref	Expression
aceq5lem.1	|- A = {u | (u =/= (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))}
aceq5lem.2	|- B = (U.A i^i y)
aceq5lem.3	|- (ph <-> A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))

Assertion

Ref	Expression
aceq5lem5	|- (ph -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))

Distinct variable groups:   x,f,z,y,w,v,u,t,h   z,B,w,f   x,A,y,z,w

Proof of Theorem aceq5lem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5lem.1	. . 3 |- A = {u | (u =/= (/) /\ E.t e. h u = ({t} X. t))}
2		aceq5lem.2	. . 3 |- B = (U.A i^i y)
3		aceq5lem.3	. . 3 |- (ph <-> A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))
4	1, 2, 3	aceq5lem4 4738	. 2 |- (ph -> E.yA.z e. A E!v v e. (z i^i y))
5		pm3.27 323	. . . . . . . . . . 11 |- ((w =/= (/) /\ w e. h) -> w e. h)
6	5	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> w e. h))
7		ineq1 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = ({w} X. w) -> (z i^i y) = (({w} X. w) i^i y))
8	7	eleq2d 1541	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = ({w} X. w) -> (v e. (z i^i y) <-> v e. (({w} X. w) i^i y)))
9	8	eubidv 1386	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = ({w} X. w) -> (E!v v e. (z i^i y) <-> E!v v e. (({w} X. w) i^i y)))
10	9	rcla4cv 1874	. . . . . . . . . . 11 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> (({w} X. w) e. A -> E!v v e. (({w} X. w) i^i y)))
11	1	aceq5lem3 4737	. . . . . . . . . . 11 |- (({w} X. w) e. A <-> (w =/= (/) /\ w e. h))
12		aceq5lem1 4735	. . . . . . . . . . 11 |- (E!v v e. (({w} X. w) i^i y) <-> E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y))
13	10, 11, 12	3imtr3g 552	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
14	6, 13	jcad 600	. . . . . . . . 9 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> (w e. h /\ E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y))))
15	2	eleq2i 1538	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, g>. e. B <-> <.w, g>. e. (U.A i^i y))
16		elin 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, g>. e. (U.A i^i y) <-> (<.w, g>. e. U.A /\ <.w, g>. e. y))
17	1	aceq5lem2 4736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.w, g>. e. U.A <-> (w e. h /\ g e. w))
18	17	anbi1i 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.w, g>. e. U.A /\ <.w, g>. e. y) <-> ((w e. h /\ g e. w) /\ <.w, g>. e. y))
19		anass 439	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((w e. h /\ g e. w) /\ <.w, g>. e. y) <-> (w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
20	18, 19	bitr 173	. . . . . . . . . . . 12 |- ((<.w, g>. e. U.A /\ <.w, g>. e. y) <-> (w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
21	15, 16, 20	3bitr 177	. . . . . . . . . . 11 |- (<.w, g>. e. B <-> (w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
22	21	eubii 1387	. . . . . . . . . 10 |- (E!g<.w, g>. e. B <-> E!g(w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
23		euanv 1432	. . . . . . . . . 10 |- (E!g(w e. h /\ (g e. w /\ <.w, g>. e. y)) <-> (w e. h /\ E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y)))
24	22, 23	bitr2 174	. . . . . . . . 9 |- ((w e. h /\ E!g(g e. w /\ <.w, g>. e. y)) <-> E!g<.w, g>. e. B)
25	14, 24	syl6ib 212	. . . . . . . 8 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> E!g<.w, g>. e. B))
26		euex 1394	. . . . . . . . 9 |- (E!g<.w, g>. e. B -> E.g<.w, g>. e. B)
27		hbeu1 1388	. . . . . . . . . . 11 |- (E!g<.w, g>. e. B -> A.gE!g<.w, g>. e. B)
28		ax-17 971	. . . . . . . . . . 11 |- ((B` w) e. w -> A.g(B` w) e. w)
29	27, 28	hbim 1007	. . . . . . . . . 10 |- ((E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w) -> A.g(E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w))
30	21	pm3.27bi 326	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, g>. e. B -> (g e. w /\ <.w, g>. e. y))
31	30	pm3.26d 321	. . . . . . . . . . 11 |- (<.w, g>. e. B -> g e. w)
32		visset 1813	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- w e. V
33	32	tz6.12 3737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((<.w, g>. e. B /\ E!g<.w, g>. e. B) -> (B` w) = g)
34	33	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((<.w, g>. e. B /\ E!g<.w, g>. e. B) -> ((B` w) e. w <-> g e. w))
35	34	biimparc 419	. . . . . . . . . . . 12 |- ((g e. w /\ (<.w, g>. e. B /\ E!g<.w, g>. e. B)) -> (B` w) e. w)
36	35	exp32 377	. . . . . . . . . . 11 |- (g e. w -> (<.w, g>. e. B -> (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w)))
37	31, 36	mpcom 49	. . . . . . . . . 10 |- (<.w, g>. e. B -> (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w))
38	29, 37	19.23ai 1064	. . . . . . . . 9 |- (E.g<.w, g>. e. B -> (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w))
39	26, 38	mpcom 49	. . . . . . . 8 |- (E!g<.w, g>. e. B -> (B` w) e. w)
40	25, 39	syl6 22	. . . . . . 7 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> ((w =/= (/) /\ w e. h) -> (B` w) e. w))
41	40	exp3a 375	. . . . . 6 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> (w =/= (/) -> (w e. h -> (B` w) e. w)))
42	41	com23 32	. . . . 5 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> (w e. h -> (w =/= (/) -> (B` w) e. w)))
43	42	r19.21aiv 1713	. . . 4 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> A.w e. h (w =/= (/) -> (B` w) e. w))
44		visset 1813	. . . . . . 7 |- y e. V
45	44	inex2 2717	. . . . . 6 |- (U.A i^i y) e. V
46	2, 45	eqeltr 1544	. . . . 5 |- B e. V
47		fveq1 3723	. . . . . . . 8 |- (f = B -> (f` w) = (B` w))
48	47	eleq1d 1540	. . . . . . 7 |- (f = B -> ((f` w) e. w <-> (B` w) e. w))
49	48	imbi2d 612	. . . . . 6 |- (f = B -> ((w =/= (/) -> (f` w) e. w) <-> (w =/= (/) -> (B` w) e. w)))
50	49	ralbidv 1663	. . . . 5 |- (f = B -> (A.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w) <-> A.w e. h (w =/= (/) -> (B` w) e. w)))
51	46, 50	cla4ev 1869	. . . 4 |- (A.w e. h (w =/= (/) -> (B` w) e. w) -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))
52	43, 51	syl 10	. . 3 |- (A.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))
53	52	19.23aiv 1295	. 2 |- (E.yA.z e. A E!v v e. (z i^i y) -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))
54	4, 53	syl 10	1 |- (ph -> E.fA.w e. h (w =/= (/) -> (f` w) e. w))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  E!weu 1380  {cab 1463   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   i^i cin 2046  (/)c0 2280  {csn 2409  <.cop 2411  U.cuni 2503   X. cxp 3168  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  aceq5 4740

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain