Theorem aceq6a 4741

Description: Our Axiom of Choice (in the form of ac3 4747) implies the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49. The proof uses neither AC nor the Axiom of Regularity. See aceq6b 4742 for the converse (which does use the Axiom of Regularity).

Assertion

Ref	Expression
aceq6a	|- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))

Distinct variable group:   x,z,f,y,w,v

Proof of Theorem aceq6a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = z -> (w e. u <-> w e. z))
2		eleq1 1534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u = z -> (u e. v <-> z e. v))
3	2	anbi1d 617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u = z -> ((u e. v /\ w e. v) <-> (z e. v /\ w e. v)))
4	3	rexbidv 1664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = z -> (E.v e. y (u e. v /\ w e. v) <-> E.v e. y (z e. v /\ w e. v)))
5	1, 4	anbi12d 628	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = z -> ((w e. u /\ E.v e. y (u e. v /\ w e. v)) <-> (w e. z /\ E.v e. y (z e. v /\ w e. v))))
6	5	abbidv 1577	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = z -> {w | (w e. u /\ E.v e. y (u e. v /\ w e. v))} = {w | (w e. z /\ E.v e. y (z e. v /\ w e. v))})
7		df-rab 1652	. . . . . . . . . . . 12 |- {w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)} = {w | (w e. u /\ E.v e. y (u e. v /\ w e. v))}
8		df-rab 1652	. . . . . . . . . . . 12 |- {w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} = {w | (w e. z /\ E.v e. y (z e. v /\ w e. v))}
9	6, 7, 8	3eqtr4g 1531	. . . . . . . . . . 11 |- (u = z -> {w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)} = {w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)})
10	9	unieqd 2512	. . . . . . . . . 10 |- (u = z -> U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)} = U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)})
11		eqid 1475	. . . . . . . . . 10 |- {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}
12		visset 1813	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. V
13	12	rabex 2725	. . . . . . . . . . 11 |- {w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. V
14	13	uniex 2870	. . . . . . . . . 10 |- U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. V
15	10, 11, 14	fvopab4 3780	. . . . . . . . 9 |- (z e. x -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) = U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)})
16	15	eleq1d 1540	. . . . . . . 8 |- (z e. x -> (({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z <-> U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. z))
17		reucl 2885	. . . . . . . 8 |- (E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v) -> U.{w e. z | E.v e. y (z e. v /\ w e. v)} e. z)
18	16, 17	syl5bir 210	. . . . . . 7 |- (z e. x -> (E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z))
19	18	imim2d 25	. . . . . 6 |- (z e. x -> ((z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z)))
20	19	r19.20i 1704	. . . . 5 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z))
21		visset 1813	. . . . . . 7 |- x e. V
22	21	opabex2 3610	. . . . . 6 |- {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} e. V
23		fveq1 3723	. . . . . . . . 9 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> (f` z) = ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z))
24	23	eleq1d 1540	. . . . . . . 8 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> ((f` z) e. z <-> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z))
25	24	imbi2d 612	. . . . . . 7 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> ((z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z)))
26	25	ralbidv 1663	. . . . . 6 |- (f = {<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})} -> (A.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z) <-> A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z)))
27	22, 26	cla4ev 1869	. . . . 5 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> ({<.u, g>. | (u e. x /\ g = U.{w e. u | E.v e. y (u e. v /\ w e. v)})}` z) e. z) -> E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
28	20, 27	syl 10	. . . 4 |- (A.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
29	28	19.23aiv 1295	. . 3 |- (E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> E.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
30	29	19.20i 992	. 2 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
31		aceq3 4733	. 2 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.fA.z e. x (z =/= (/) -> (f` z) e. z))
32	30, 31	sylibr 200	1 |- (A.xE.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!w e. z E.v e. y (z e. v /\ w e. v)) -> A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  E!wreu 1647  {crab 1648   (_ wss 2047  (/)c0 2280  U.cuni 2503  {copab 2666  dom cdm 3170   Fn wfn 3177  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  aceq7 4743  ac7 4748

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain