Theorem aceqkm 4781

Description: Equivalence of the Axiom of Choice (first form) of [Enderton] p. 49 and Maes' AC ackm 4782. The proof consists of lemmas kmlem1 4765 through kmlem16 4780 and this final theorem. AC is not used for the proof. Note: bypassing the first step (i.e. replacing aceq5 4740 with pm4.2 170) establishes the AC equivalence shown by Mae's writeup. The left-hand-side AC shown here was chosen because it is shorter to display.

Assertion

Ref	Expression
aceqkm	|- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))

Distinct variable group:   x,y,z,v,u,f

Proof of Theorem aceqkm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aceq5 4740	. 2 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)))
2		eqid 1475	. . . 4 |- {t | E.h e. x t = (h \ U.(x \ {h}))} = {t | E.h e. x t = (h \ U.(x \ {h}))}
3	2	kmlem13 4777	. . 3 |- (A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)) <-> A.x(-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!v v e. (z i^i y))))
4		kmlem8 4772	. . . 4 |- ((-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!v v e. (z i^i y))) <-> (E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
5	4	albii 999	. . 3 |- (A.x(-. E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) -> E.yA.z e. x (z =/= (/) -> E!v v e. (z i^i y))) <-> A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
6	3, 5	bitr 173	. 2 |- (A.x((A.z e. x z =/= (/) /\ A.z e. x A.w e. x (z =/= w -> (z i^i w) = (/))) -> E.yA.z e. x E!v v e. (z i^i y)) <-> A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))))
7		df-ne 1587	. . . . . . . 8 |- (y =/= v <-> -. y = v)
8	7	bicomi 172	. . . . . . 7 |- (-. y = v <-> y =/= v)
9	8	anbi2i 480	. . . . . 6 |- ((v e. x /\ -. y = v) <-> (v e. x /\ y =/= v))
10	9	anbi1i 481	. . . . 5 |- (((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v) <-> ((v e. x /\ y =/= v) /\ z e. v))
11	10	imbi2i 185	. . . 4 |- ((z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v)) <-> (z e. y -> ((v e. x /\ y =/= v) /\ z e. v)))
12		pm4.2 170	. . . 4 |- ((z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))) <-> (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))
13		pm4.2 170	. . . 4 |- (A.z e. x E!v v e. (z i^i y) <-> A.z e. x E!v v e. (z i^i y))
14	11, 12, 13	kmlem16 4780	. . 3 |- ((E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))) <-> E.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))
15	14	albii 999	. 2 |- (A.x(E.z e. x A.v e. z E.w e. x (z =/= w /\ v e. (z i^i w)) \/ E.y(-. y e. x /\ A.z e. x E!v v e. (z i^i y))) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))
16	1, 6, 15	3bitr 177	1 |- (A.xE.f(f (_ x /\ f Fn dom x) <-> A.xE.yA.zE.vA.u((y e. x /\ (z e. y -> ((v e. x /\ -. y = v) /\ z e. v))) \/ (-. y e. x /\ (z e. x -> ((v e. z /\ v e. y) /\ ((u e. z /\ u e. y) -> u = v))))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  E!weu 1380  {cab 1463   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646   \ cdif 2044   i^i cin 2046   (_ wss 2047  (/)c0 2280  {csn 2409  U.cuni 2503  dom cdm 3170   Fn wfn 3177

This theorem is referenced by:  ackm 4782

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain