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Theorem ackbij1lem10 7855
Description: Lemma for ackbij1 7864. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem10  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
Distinct variable group:    x, F, y

Proof of Theorem ackbij1lem10
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
2 inss2 3390 . . . . 5  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
32sseli 3176 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
4 snfi 6941 . . . . . 6  |-  { y }  e.  Fin
5 inss1 3389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
65sseli 3176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P om )
7 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P om  ->  x 
C_  om )
86, 7syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  C_ 
om )
9 onfin2 7052 . . . . . . . . . 10  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
10 inss2 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
119, 10eqsstri 3208 . . . . . . . . 9  |-  om  C_  Fin
128, 11syl6ss 3191 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  C_ 
Fin )
1312sselda 3180 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  Fin )
14 pwfi 7151 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  <->  ~P y  e.  Fin )
1513, 14sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ~P y  e.  Fin )
16 xpfi 7128 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ~P y  e. 
Fin )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
174, 15, 16sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( {
y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
1817ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A. y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
19 iunfi 7144 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
203, 18, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
21 ficardom 7594 . . 3  |-  ( U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )
2220, 21syl 15 . 2  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( card `  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y
) )  e.  om )
231, 22fmpti 5683 1  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U_ciun 3905    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   omcom 4656    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255   Fincfn 6863   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  7857  ackbij1lem13  7858  ackbij1lem14  7859  ackbij1lem15  7860  ackbij1lem16  7861  ackbij1lem17  7862  ackbij1lem18  7863  ackbij1b  7865
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572
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