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Theorem ackbij1lem10 7871
Description: Lemma for ackbij1 7880. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem10  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
Distinct variable group:    x, F, y

Proof of Theorem ackbij1lem10
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
2 inss2 3403 . . . . 5  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
32sseli 3189 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
4 snfi 6957 . . . . . 6  |-  { y }  e.  Fin
5 inss1 3402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
65sseli 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P om )
7 elpwi 3646 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P om  ->  x 
C_  om )
86, 7syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  C_ 
om )
9 onfin2 7068 . . . . . . . . . 10  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
10 inss2 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
119, 10eqsstri 3221 . . . . . . . . 9  |-  om  C_  Fin
128, 11syl6ss 3204 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  x  C_ 
Fin )
1312sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  Fin )
14 pwfi 7167 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  <->  ~P y  e.  Fin )
1513, 14sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ~P y  e.  Fin )
16 xpfi 7144 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ~P y  e. 
Fin )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
174, 15, 16sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( {
y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
1817ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A. y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
19 iunfi 7160 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
203, 18, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
21 ficardom 7610 . . 3  |-  ( U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )
2220, 21syl 15 . 2  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( card `  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y
) )  e.  om )
231, 22fmpti 5699 1  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U_ciun 3921    e. cmpt 4093   Oncon0 4408   omcom 4672    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271   Fincfn 6879   cardccrd 7584
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  7873  ackbij1lem13  7874  ackbij1lem14  7875  ackbij1lem15  7876  ackbij1lem16  7877  ackbij1lem17  7878  ackbij1lem18  7879  ackbij1b  7881
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588
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