MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem11 Structured version   Unicode version

Theorem ackbij1lem11 8115
Description: Lemma for ackbij1 8123. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem11  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem ackbij1lem11
StepHypRef Expression
1 inss1 3563 . . . . . . 7  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
21sseli 3346 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  ~P om )
32elpwid 3810 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  C_ 
om )
4 sstr 3358 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  om )  ->  B  C_  om )
53, 4sylan2 462 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  C_  om )
6 ssexg 4352 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  _V )
7 elpwg 3808 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  ~P om  <->  B  C_  om )
)
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( B  e. 
~P om  <->  B  C_  om )
)
95, 8mpbird 225 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  ~P om )
109ancoms 441 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ~P om )
11 inss2 3564 . . . 4  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
1211sseli 3346 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
13 ssfi 7332 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
1412, 13sylan 459 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
15 elin 3532 . 2  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( B  e.  ~P om  /\  B  e.  Fin ) )
1610, 14, 15sylanbrc 647 1  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U_ciun 4095    e. cmpt 4269   omcom 4848    X. cxp 4879   ` cfv 5457   Fincfn 7112   cardccrd 7827
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  8116  ackbij1lem15  8119  ackbij1lem16  8120  ackbij1lem18  8122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-er 6908  df-en 7113  df-fin 7116
  Copyright terms: Public domain W3C validator