MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem11 Unicode version

Theorem ackbij1lem11 7856
Description: Lemma for ackbij1 7864. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem11  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem ackbij1lem11
StepHypRef Expression
1 inss1 3389 . . . . . . 7  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
21sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  ~P om )
3 elpwi 3633 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P om  ->  A 
C_  om )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  C_ 
om )
5 sstr 3187 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  om )  ->  B  C_  om )
64, 5sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  C_  om )
7 ssexg 4160 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  _V )
8 elpwg 3632 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  ~P om  <->  B  C_  om )
)
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( B  e. 
~P om  <->  B  C_  om )
)
106, 9mpbird 223 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  ~P om )
1110ancoms 439 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ~P om )
12 inss2 3390 . . . 4  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
1312sseli 3176 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
14 ssfi 7083 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
1513, 14sylan 457 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
16 elin 3358 . 2  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( B  e.  ~P om  /\  B  e.  Fin ) )
1711, 15, 16sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U_ciun 3905    e. cmpt 4077   omcom 4656    X. cxp 4687   ` cfv 5255   Fincfn 6863   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  7857  ackbij1lem15  7860  ackbij1lem16  7861  ackbij1lem18  7863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator