MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem11 Unicode version

Theorem ackbij1lem11 8074
Description: Lemma for ackbij1 8082. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem11  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem ackbij1lem11
StepHypRef Expression
1 inss1 3529 . . . . . . 7  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
21sseli 3312 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  ~P om )
32elpwid 3776 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  C_ 
om )
4 sstr 3324 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  om )  ->  B  C_  om )
53, 4sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  C_  om )
6 ssexg 4317 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  _V )
7 elpwg 3774 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  ~P om  <->  B  C_  om )
)
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( B  e. 
~P om  <->  B  C_  om )
)
95, 8mpbird 224 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  ~P om )
109ancoms 440 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ~P om )
11 inss2 3530 . . . 4  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
1211sseli 3312 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
13 ssfi 7296 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
1412, 13sylan 458 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
15 elin 3498 . 2  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( B  e.  ~P om  /\  B  e.  Fin ) )
1610, 14, 15sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    i^i cin 3287    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   {csn 3782   U_ciun 4061    e. cmpt 4234   omcom 4812    X. cxp 4843   ` cfv 5421   Fincfn 7076   cardccrd 7786
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  8075  ackbij1lem15  8078  ackbij1lem16  8079  ackbij1lem18  8081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-er 6872  df-en 7077  df-fin 7080
  Copyright terms: Public domain W3C validator