MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem11 Unicode version

Theorem ackbij1lem11 7943
Description: Lemma for ackbij1 7951. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem11  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem ackbij1lem11
StepHypRef Expression
1 inss1 3465 . . . . . . 7  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
21sseli 3252 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  ~P om )
3 elpwi 3709 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~P om  ->  A 
C_  om )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  C_ 
om )
5 sstr 3263 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  C_  om )  ->  B  C_  om )
64, 5sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  C_  om )
7 ssexg 4239 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  _V )
8 elpwg 3708 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  ~P om  <->  B  C_  om )
)
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( B  e. 
~P om  <->  B  C_  om )
)
106, 9mpbird 223 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  B  e.  ~P om )
1110ancoms 439 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ~P om )
12 inss2 3466 . . . 4  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
1312sseli 3252 . . 3  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
14 ssfi 7168 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
1513, 14sylan 457 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
16 elin 3434 . 2  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( B  e.  ~P om  /\  B  e.  Fin ) )
1711, 15, 16sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864    i^i cin 3227    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   {csn 3716   U_ciun 3984    e. cmpt 4156   omcom 4735    X. cxp 4766   ` cfv 5334   Fincfn 6948   cardccrd 7655
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  7944  ackbij1lem15  7947  ackbij1lem16  7948  ackbij1lem18  7950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-er 6744  df-en 6949  df-fin 6952
  Copyright terms: Public domain W3C validator