MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem13 Structured version   Unicode version

Theorem ackbij1lem13 8104
Description: Lemma for ackbij1 8110. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem13  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
Distinct variable group:    x, F, y

Proof of Theorem ackbij1lem13
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
21ackbij1lem10 8101 . . . . 5  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
3 peano1 4856 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
42, 3f0cli 5872 . . . 4  |-  ( F `
 (/) )  e.  om
5 nna0 6839 . . . 4  |-  ( ( F `  (/) )  e. 
om  ->  ( ( F `
 (/) )  +o  (/) )  =  ( F `  (/) ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( F `  (/) )  +o  (/) )  =  ( F `  (/) )
7 un0 3644 . . . 4  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
87fveq2i 5723 . . 3  |-  ( F `
 ( (/)  u.  (/) ) )  =  ( F `  (/) )
9 ackbij1lem3 8094 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  om  ->  (/)  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
103, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  (/)  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
11 in0 3645 . . . 4  |-  ( (/)  i^i  (/) )  =  (/)
121ackbij1lem9 8100 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  (/) 
e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( (/) 
i^i  (/) )  =  (/) )  ->  ( F `  ( (/)  u.  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  ( F `  (/) ) ) )
1310, 10, 11, 12mp3an 1279 . . 3  |-  ( F `
 ( (/)  u.  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  ( F `  (/) ) )
146, 8, 133eqtr2ri 2462 . 2  |-  ( ( F `  (/) )  +o  ( F `  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  (/) )
15 nnacan 6863 . . 3  |-  ( ( ( F `  (/) )  e. 
om  /\  ( F `  (/) )  e.  om  /\  (/)  e.  om )  -> 
( ( ( F `
 (/) )  +o  ( F `  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  (/) )  <->  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
164, 4, 3, 15mp3an 1279 . 2  |-  ( ( ( F `  (/) )  +o  ( F `  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  (/) )  <->  ( F `  (/) )  =  (/) )
1714, 16mpbi 200 1  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    i^i cin 3311   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   U_ciun 4085    e. cmpt 4258   omcom 4837    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    +o coa 6713   Fincfn 7101   cardccrd 7814
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  8105  ackbij1  8110
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-cda 8040
  Copyright terms: Public domain W3C validator