MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ackbij1lem13 Unicode version

Theorem ackbij1lem13 8038
Description: Lemma for ackbij1 8044. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem13  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
Distinct variable group:    x, F, y

Proof of Theorem ackbij1lem13
StepHypRef Expression
1 ackbij.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
21ackbij1lem10 8035 . . . . 5  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
3 peano1 4797 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
42, 3f0cli 5812 . . . 4  |-  ( F `
 (/) )  e.  om
5 nna0 6776 . . . 4  |-  ( ( F `  (/) )  e. 
om  ->  ( ( F `
 (/) )  +o  (/) )  =  ( F `  (/) ) )
64, 5ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( F `  (/) )  +o  (/) )  =  ( F `  (/) )
7 un0 3588 . . . 4  |-  ( (/)  u.  (/) )  =  (/)
87fveq2i 5664 . . 3  |-  ( F `
 ( (/)  u.  (/) ) )  =  ( F `  (/) )
9 ackbij1lem3 8028 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  om  ->  (/)  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
103, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  (/)  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
11 in0 3589 . . . 4  |-  ( (/)  i^i  (/) )  =  (/)
121ackbij1lem9 8034 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  (/) 
e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( (/) 
i^i  (/) )  =  (/) )  ->  ( F `  ( (/)  u.  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  ( F `  (/) ) ) )
1310, 10, 11, 12mp3an 1279 . . 3  |-  ( F `
 ( (/)  u.  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  ( F `  (/) ) )
146, 8, 133eqtr2ri 2407 . 2  |-  ( ( F `  (/) )  +o  ( F `  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  (/) )
15 nnacan 6800 . . 3  |-  ( ( ( F `  (/) )  e. 
om  /\  ( F `  (/) )  e.  om  /\  (/)  e.  om )  -> 
( ( ( F `
 (/) )  +o  ( F `  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  (/) )  <->  ( F `  (/) )  =  (/) ) )
164, 4, 3, 15mp3an 1279 . 2  |-  ( ( ( F `  (/) )  +o  ( F `  (/) ) )  =  ( ( F `
 (/) )  +o  (/) )  <->  ( F `  (/) )  =  (/) )
1714, 16mpbi 200 1  |-  ( F `
 (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3254    i^i cin 3255   (/)c0 3564   ~Pcpw 3735   {csn 3750   U_ciun 4028    e. cmpt 4200   omcom 4778    X. cxp 4809   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    +o coa 6650   Fincfn 7038   cardccrd 7748
This theorem is referenced by:  ackbij1lem14  8039  ackbij1  8044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-card 7752  df-cda 7974
  Copyright terms: Public domain W3C validator