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Theorem ackbij1lem15 8114
Description: Lemma for ackbij1 8118. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem15  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  -.  ( F `  ( A  i^i  suc  c )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  c ) ) )
Distinct variable groups:    F, c, x, y    A, c, x, y    B, c, x, y

Proof of Theorem ackbij1lem15
StepHypRef Expression
1 simpr1 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  c  e.  om )
2 ackbij1lem3 8102 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  om  ->  c  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  c  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
4 simpr3 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  -.  c  e.  B )
5 ackbij1lem1 8100 . . . . . . . 8  |-  ( -.  c  e.  B  -> 
( B  i^i  suc  c )  =  ( B  i^i  c ) )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( B  i^i  suc  c )  =  ( B  i^i  c ) )
7 inss2 3562 . . . . . . 7  |-  ( B  i^i  c )  C_  c
86, 7syl6eqss 3398 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( B  i^i  suc  c )  C_  c )
9 ackbij.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
109ackbij1lem12 8111 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  suc  c )  C_  c
)  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  c ) )  C_  ( F `  c ) )
113, 8, 10syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  c ) ) 
C_  ( F `  c ) )
129ackbij1lem10 8109 . . . . . . . . . 10  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
1312ffvelrni 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  c )  e.  om )
14 nnon 4851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  c )  e.  om  ->  ( F `  c )  e.  On )
153, 13, 143syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  c )  e.  On )
16 onpsssuc 4799 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  c )  e.  On  ->  ( F `  c )  C.  suc  ( F `  c ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  c )  C.  suc  ( F `  c ) )
189ackbij1lem14 8113 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  om  ->  ( F `  { c } )  =  suc  ( F `  c ) )
191, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  { c } )  =  suc  ( F `  c ) )
2019psseq2d 3440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  (
( F `  c
)  C.  ( F `  { c } )  <-> 
( F `  c
)  C.  suc  ( F `
 c ) ) )
2117, 20mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  c )  C.  ( F `  {
c } ) )
22 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
23 inss1 3561 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  suc  c )  C_  A
249ackbij1lem11 8110 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  suc  c )  C_  A
)  ->  ( A  i^i  suc  c )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
2522, 23, 24sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( A  i^i  suc  c )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
26 ssun1 3510 . . . . . . . 8  |-  { c }  C_  ( {
c }  u.  ( A  i^i  c ) )
27 simpr2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  c  e.  A )
28 ackbij1lem2 8101 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  A  ->  ( A  i^i  suc  c )  =  ( { c }  u.  ( A  i^i  c ) ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( A  i^i  suc  c )  =  ( { c }  u.  ( A  i^i  c ) ) )
3026, 29syl5sseqr 3397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  { c }  C_  ( A  i^i  suc  c ) )
319ackbij1lem12 8111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  suc  c )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  { c } 
C_  ( A  i^i  suc  c ) )  -> 
( F `  {
c } )  C_  ( F `  ( A  i^i  suc  c )
) )
3225, 30, 31syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  { c } )  C_  ( F `  ( A  i^i  suc  c ) ) )
3321, 32psssstrd 3456 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  c )  C.  ( F `  ( A  i^i  suc  c )
) )
3411, 33sspsstrd 3455 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  c ) ) 
C.  ( F `  ( A  i^i  suc  c
) ) )
3534pssned 3445 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  c ) )  =/=  ( F `  ( A  i^i  suc  c
) ) )
3635necomd 2687 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  c ) )  =/=  ( F `  ( B  i^i  suc  c
) ) )
3736neneqd 2617 1  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
c  e.  om  /\  c  e.  A  /\  -.  c  e.  B
) )  ->  -.  ( F `  ( A  i^i  suc  c )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  c ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320    C. wpss 3321   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U_ciun 4093    e. cmpt 4266   Oncon0 4581   suc csuc 4583   omcom 4845    X. cxp 4876   ` cfv 5454   Fincfn 7109   cardccrd 7822
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  8115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-cda 8048
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