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Theorem ackbij1lem16 7877
Description: Lemma for ackbij1 7880. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem16  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  A )  =  ( F `  B )  ->  A  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem ackbij1lem16
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
21sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  ~P om )
3 elpwi 3646 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~P om  ->  A 
C_  om )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  C_ 
om )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  A  C_  om )
61sseli 3189 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  ~P om )
7 elpwi 3646 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ~P om  ->  B 
C_  om )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  C_ 
om )
98adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  B  C_  om )
105, 9unssd 3364 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  C_  om )
11 inss2 3403 . . . . . . 7  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
1211sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
1311sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  Fin )
14 unfi 7140 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
1512, 13, 14syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
16 nnunifi 7124 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  om  /\  ( A  u.  B )  e.  Fin )  ->  U. ( A  u.  B )  e.  om )
1710, 15, 16syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  U. ( A  u.  B )  e.  om )
18 peano2 4692 . . . 4  |-  ( U. ( A  u.  B
)  e.  om  ->  suc  U. ( A  u.  B
)  e.  om )
1917, 18syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  suc  U. ( A  u.  B )  e.  om )
20 ineq2 3377 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( A  i^i  a )  =  ( A  i^i  (/) ) )
2120fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( F `
 ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( A  i^i  (/) ) ) )
22 ineq2 3377 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( B  i^i  a )  =  ( B  i^i  (/) ) )
2322fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( F `
 ( B  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  (/) ) ) )
2421, 23eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  <->  ( F `  ( A  i^i  (/) ) )  =  ( F `  ( B  i^i  (/) ) ) ) )
2520, 22eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a )  <->  ( A  i^i  (/) )  =  ( B  i^i  (/) ) ) )
2624, 25imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a
) )  <->  ( ( F `  ( A  i^i  (/) ) )  =  ( F `  ( B  i^i  (/) ) )  -> 
( A  i^i  (/) )  =  ( B  i^i  (/) ) ) ) )
2726imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a
) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 ( A  i^i  (/) ) )  =  ( F `  ( B  i^i  (/) ) )  -> 
( A  i^i  (/) )  =  ( B  i^i  (/) ) ) ) ) )
28 ineq2 3377 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( A  i^i  a )  =  ( A  i^i  b
) )
2928fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( A  i^i  b ) ) )
30 ineq2 3377 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( B  i^i  a )  =  ( B  i^i  b
) )
3130fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  ( B  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) )
3229, 31eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  <->  ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
3328, 30eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  i^i  a
)  =  ( B  i^i  a )  <->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) ) )
3432, 33imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( F `  ( A  i^i  a
) )  =  ( F `  ( B  i^i  a ) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a ) )  <->  ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) ) ) )
3534imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a
) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) ) ) ) )
36 ineq2 3377 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( A  i^i  a
)  =  ( A  i^i  suc  b )
)
3736fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( A  i^i  suc  b
) ) )
38 ineq2 3377 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( B  i^i  a
)  =  ( B  i^i  suc  b )
)
3938fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( F `  ( B  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )
4037, 39eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( F `  ( A  i^i  a
) )  =  ( F `  ( B  i^i  a ) )  <-> 
( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  b ) ) ) )
4136, 38eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a )  <-> 
( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b
) ) )
4240, 41imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ( F `
 ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a ) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a ) )  <->  ( ( F `
 ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
)  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) )
4342imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a
) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
)  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
44 ineq2 3377 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( A  i^i  a
)  =  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )
4544fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) ) )
46 ineq2 3377 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( B  i^i  a
)  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )
4746fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( F `  ( B  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) ) )
4845, 47eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( ( F `  ( A  i^i  a
) )  =  ( F `  ( B  i^i  a ) )  <-> 
( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) ) ) )
4944, 46eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a )  <-> 
( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) )  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) ) )
5048, 49imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( ( ( F `
 ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a ) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a ) )  <->  ( ( F `
 ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  ->  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
)  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) ) ) )
5150imbi2d 307 . . . 4  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a
) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  ->  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
)  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) ) ) ) )
52 in0 3493 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  (/) )  =  (/)
53 in0 3493 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  (/) )  =  (/)
5452, 53eqtr4i 2319 . . . . 5  |-  ( A  i^i  (/) )  =  ( B  i^i  (/) )
5554a1ii 24 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  (/) ) )  =  ( F `  ( B  i^i  (/) ) )  -> 
( A  i^i  (/) )  =  ( B  i^i  (/) ) ) )
56 simp13 987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  b ) ) )
57 3simpa 952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  (
b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) ) )
58 ackbij1lem2 7863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  A  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( { b }  u.  ( A  i^i  b ) ) )
5958fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  A  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( { b }  u.  ( A  i^i  b
) ) ) )
60593ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( { b }  u.  ( A  i^i  b ) ) ) )
61 ackbij1lem4 7865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  om  ->  { b }  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
6261adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  { b }  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
63 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
64 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  b )  C_  A
65 ackbij.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
6665ackbij1lem11 7872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  b
)  C_  A )  ->  ( A  i^i  b
)  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
6763, 64, 66sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( A  i^i  b )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
68 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { b }  i^i  ( A  i^i  b ) )  =  ( ( A  i^i  b )  i^i 
{ b } )
69 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  i^i  b )  C_  b
70 nnord 4680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  e.  om  ->  Ord  b )
71 orddisj 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Ord  b  ->  ( b  i^i  { b } )  =  (/) )
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  e.  om  ->  (
b  i^i  { b } )  =  (/) )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  (
b  i^i  { b } )  =  (/) )
74 ssdisj 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  i^i  b
)  C_  b  /\  ( b  i^i  {
b } )  =  (/) )  ->  ( ( A  i^i  b )  i^i  { b } )  =  (/) )
7569, 73, 74sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  (
( A  i^i  b
)  i^i  { b } )  =  (/) )
7668, 75syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( { b }  i^i  ( A  i^i  b
) )  =  (/) )
7765ackbij1lem9 7870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { b }  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  b )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( { b }  i^i  ( A  i^i  b ) )  =  (/) )  ->  ( F `  ( {
b }  u.  ( A  i^i  b ) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b ) ) ) )
7862, 67, 76, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( F `  ( {
b }  u.  ( A  i^i  b ) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b ) ) ) )
79783ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( { b }  u.  ( A  i^i  b
) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b
) ) ) )
8060, 79eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b ) ) ) )
8157, 80syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b ) ) ) )
82 ackbij1lem2 7863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  B  ->  ( B  i^i  suc  b )  =  ( { b }  u.  ( B  i^i  b ) ) )
8382fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  B  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( { b }  u.  ( B  i^i  b
) ) ) )
84833ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( { b }  u.  ( B  i^i  b ) ) ) )
85 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
86 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  i^i  b )  C_  B
8765ackbij1lem11 7872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  b
)  C_  B )  ->  ( B  i^i  b
)  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
8885, 86, 87sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( B  i^i  b )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
89 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { b }  i^i  ( B  i^i  b ) )  =  ( ( B  i^i  b )  i^i 
{ b } )
90 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  i^i  b )  C_  b
91 ssdisj 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  i^i  b
)  C_  b  /\  ( b  i^i  {
b } )  =  (/) )  ->  ( ( B  i^i  b )  i^i  { b } )  =  (/) )
9290, 73, 91sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  (
( B  i^i  b
)  i^i  { b } )  =  (/) )
9389, 92syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( { b }  i^i  ( B  i^i  b
) )  =  (/) )
9465ackbij1lem9 7870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { b }  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  b )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( { b }  i^i  ( B  i^i  b ) )  =  (/) )  ->  ( F `  ( {
b }  u.  ( B  i^i  b ) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
9562, 88, 93, 94syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( F `  ( {
b }  u.  ( B  i^i  b ) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
96953ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( { b }  u.  ( B  i^i  b
) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b
) ) ) )
9784, 96eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
)  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
9857, 97syl3an1 1215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
)  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
9956, 81, 983eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b
) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b
) ) ) )
10065ackbij1lem10 7871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
101100ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { b }  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  { b } )  e.  om )
10262, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( F `  { b } )  e.  om )
103100ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  i^i  b )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( A  i^i  b ) )  e. 
om )
10467, 103syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( F `  ( A  i^i  b ) )  e. 
om )
105100ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  i^i  b )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( B  i^i  b ) )  e. 
om )
10688, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( F `  ( B  i^i  b ) )  e. 
om )
107 nnacan 6642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  {
b } )  e. 
om  /\  ( F `  ( A  i^i  b
) )  e.  om  /\  ( F `  ( B  i^i  b ) )  e.  om )  -> 
( ( ( F `
 { b } )  +o  ( F `
 ( A  i^i  b ) ) )  =  ( ( F `
 { b } )  +o  ( F `
 ( B  i^i  b ) ) )  <-> 
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) ) ) )
108102, 104, 106, 107syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  (
( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b
) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b
) ) )  <->  ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
1091083adant3 975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  (
( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b
) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b
) ) )  <->  ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
1101093ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( ( ( F `
 { b } )  +o  ( F `
 ( A  i^i  b ) ) )  =  ( ( F `
 { b } )  +o  ( F `
 ( B  i^i  b ) ) )  <-> 
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) ) ) )
11199, 110mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) ) )
112 uneq2 3336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b )  ->  ( { b }  u.  ( A  i^i  b
) )  =  ( { b }  u.  ( B  i^i  b
) ) )
113112adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  A  /\  b  e.  B
)  /\  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( {
b }  u.  ( A  i^i  b ) )  =  ( { b }  u.  ( B  i^i  b ) ) )
11458ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  A  /\  b  e.  B
)  /\  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( { b }  u.  ( A  i^i  b ) ) )
11582ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  A  /\  b  e.  B
)  /\  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( B  i^i  suc  b )  =  ( { b }  u.  ( B  i^i  b ) ) )
116113, 114, 1153eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  A  /\  b  e.  B
)  /\  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) )
117116ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b
) ) )
1181173adant1 973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b
) ) )
119111, 118embantd 50 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
1201193exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  (
b  e.  A  -> 
( b  e.  B  ->  ( ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
121 simp13 987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )
122121eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( A  i^i  suc  b )
) )
123 simp12r 1069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
124 simp12l 1068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
125 simp11 985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  b  e.  om )
126 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  b  e.  B )
127 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  -.  b  e.  A )
12865ackbij1lem15 7876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  om  /\  b  e.  B  /\  -.  b  e.  A
) )  ->  -.  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( A  i^i  suc  b ) ) )
129123, 124, 125, 126, 127, 128syl23anc 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  -.  ( F `  ( B  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( A  i^i  suc  b
) ) )
130122, 129pm2.65i 165 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (
( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)
131130pm2.21i 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  ( (
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
1321313exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  ( -.  b  e.  A  ->  ( b  e.  B  ->  ( ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
133120, 132pm2.61d 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  (
b  e.  B  -> 
( ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) )
134 simp13 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )
135 simp12l 1068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
136 simp12r 1069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
137 simp11 985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  b  e.  om )
138 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  b  e.  A )
139 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  -.  b  e.  B )
14065ackbij1lem15 7876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  om  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
) )  ->  -.  ( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  b ) ) )
141135, 136, 137, 138, 139, 140syl23anc 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  -.  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )
142134, 141pm2.65i 165 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (
( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)
143142pm2.21i 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( (
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
1441433exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  (
b  e.  A  -> 
( -.  b  e.  B  ->  ( (
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
145 simp13 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )
146 ackbij1lem1 7862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  b  e.  A  -> 
( A  i^i  suc  b )  =  ( A  i^i  b ) )
147146adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( A  i^i  b
) )
148147fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( A  i^i  b ) ) )
149 ackbij1lem1 7862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  b  e.  B  -> 
( B  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  b ) )
150149adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( B  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  b
) )
151150fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) )
152148, 151eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) )  <->  ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
153152biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) )  ->  ( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
1541533adant1 973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) )  ->  ( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
155145, 154mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) )
156147, 150eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b )  <->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) ) )
157156biimprd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
)  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
1581573adant1 973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
)  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
159155, 158embantd 50 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( (
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
1601593exp 1150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  ( -.  b  e.  A  ->  ( -.  b  e.  B  ->  ( (
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
161144, 160pm2.61d 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  ( -.  b  e.  B  ->  ( ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) )
162133, 161pm2.61d 150 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  (
( ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
1631623exp 1150 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  (
( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  b ) )  -> 
( ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
164163com34 77 . . . . 5  |-  ( b  e.  om  ->  (
( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
165164a2d 23 . . . 4  |-  ( b  e.  om  ->  (
( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
) ) )  -> 
( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  b ) )  -> 
( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b
) ) ) ) )
16627, 35, 43, 51, 55, 165finds 4698 . . 3  |-  ( suc  U. ( A  u.  B
)  e.  om  ->  ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  ->  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
)  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) ) ) )
16719, 166mpcom 32 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B ) ) )  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) )  -> 
( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) )  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) ) )
168 ssun1 3351 . . . . . . 7  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
169 omsson 4676 . . . . . . . . 9  |-  om  C_  On
17010, 169syl6ss 3204 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  C_  On )
171 onsucuni 4635 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  On  ->  ( A  u.  B )  C_  suc  U. ( A  u.  B ) )
172170, 171syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  C_  suc  U. ( A  u.  B
) )
173168, 172syl5ss 3203 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  A  C_  suc  U. ( A  u.  B
) )
174 df-ss 3179 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  suc  U. ( A  u.  B )  <->  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) )  =  A )
175173, 174sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B ) )  =  A )
176175fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) )  =  ( F `  A
) )
177 ssun2 3352 . . . . . . 7  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
178177, 172syl5ss 3203 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  B  C_  suc  U. ( A  u.  B
) )
179 df-ss 3179 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  suc  U. ( A  u.  B )  <->  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) )  =  B )
180178, 179sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B ) )  =  B )
181180fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) )  =  ( F `  B
) )
182176, 181eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B ) ) )  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) )  <->  ( F `  A )  =  ( F `  B ) ) )
183175, 180eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
)  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
)  <->  A  =  B
) )
184182, 183imbi12d 311 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( (
( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  ->  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
)  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  <->  ( ( F `  A )  =  ( F `  B )  ->  A  =  B ) ) )
185167, 184mpbid 201 1  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  A )  =  ( F `  B )  ->  A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   U_ciun 3921    e. cmpt 4093   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    +o coa 6492   Fincfn 6879   cardccrd 7584
This theorem is referenced by:  ackbij1lem17  7878
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810
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