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Theorem ackbij1lem16 8120
Description: Lemma for ackbij1 8123. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem16  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  A )  =  ( F `  B )  ->  A  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem ackbij1lem16
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3563 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
21sseli 3346 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  ~P om )
32elpwid 3810 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  C_ 
om )
43adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  A  C_  om )
51sseli 3346 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  ~P om )
65elpwid 3810 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  C_ 
om )
76adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  B  C_  om )
84, 7unssd 3525 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  C_  om )
9 inss2 3564 . . . . . . 7  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
109sseli 3346 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
119sseli 3346 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  Fin )
12 unfi 7377 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  u.  B
)  e.  Fin )
1310, 11, 12syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  Fin )
14 nnunifi 7361 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  om  /\  ( A  u.  B )  e.  Fin )  ->  U. ( A  u.  B )  e.  om )
158, 13, 14syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  U. ( A  u.  B )  e.  om )
16 peano2 4868 . . . 4  |-  ( U. ( A  u.  B
)  e.  om  ->  suc  U. ( A  u.  B
)  e.  om )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  suc  U. ( A  u.  B )  e.  om )
18 ineq2 3538 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( A  i^i  a )  =  ( A  i^i  (/) ) )
1918fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( F `
 ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( A  i^i  (/) ) ) )
20 ineq2 3538 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( B  i^i  a )  =  ( B  i^i  (/) ) )
2120fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( F `
 ( B  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  (/) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  <->  ( F `  ( A  i^i  (/) ) )  =  ( F `  ( B  i^i  (/) ) ) ) )
2318, 20eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a )  <->  ( A  i^i  (/) )  =  ( B  i^i  (/) ) ) )
2422, 23imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a
) )  <->  ( ( F `  ( A  i^i  (/) ) )  =  ( F `  ( B  i^i  (/) ) )  -> 
( A  i^i  (/) )  =  ( B  i^i  (/) ) ) ) )
2524imbi2d 309 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a
) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 ( A  i^i  (/) ) )  =  ( F `  ( B  i^i  (/) ) )  -> 
( A  i^i  (/) )  =  ( B  i^i  (/) ) ) ) ) )
26 ineq2 3538 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( A  i^i  a )  =  ( A  i^i  b
) )
2726fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( A  i^i  b ) ) )
28 ineq2 3538 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( B  i^i  a )  =  ( B  i^i  b
) )
2928fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( F `  ( B  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) )
3027, 29eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  <->  ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
3126, 28eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  i^i  a
)  =  ( B  i^i  a )  <->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) ) )
3230, 31imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( F `  ( A  i^i  a
) )  =  ( F `  ( B  i^i  a ) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a ) )  <->  ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) ) ) )
3332imbi2d 309 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a
) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) ) ) ) )
34 ineq2 3538 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( A  i^i  a
)  =  ( A  i^i  suc  b )
)
3534fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( A  i^i  suc  b
) ) )
36 ineq2 3538 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( B  i^i  a
)  =  ( B  i^i  suc  b )
)
3736fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( F `  ( B  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )
3835, 37eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( F `  ( A  i^i  a
) )  =  ( F `  ( B  i^i  a ) )  <-> 
( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  b ) ) ) )
3934, 36eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a )  <-> 
( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b
) ) )
4038, 39imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ( F `
 ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a ) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a ) )  <->  ( ( F `
 ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
)  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) )
4140imbi2d 309 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a
) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
)  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
42 ineq2 3538 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( A  i^i  a
)  =  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )
4342fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) ) )
44 ineq2 3538 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( B  i^i  a
)  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )
4544fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( F `  ( B  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) ) )
4643, 45eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( ( F `  ( A  i^i  a
) )  =  ( F `  ( B  i^i  a ) )  <-> 
( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) ) ) )
4742, 44eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a )  <-> 
( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) )  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) ) )
4846, 47imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( ( ( F `
 ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a ) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a ) )  <->  ( ( F `
 ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  ->  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
)  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) ) ) )
4948imbi2d 309 . . . 4  |-  ( a  =  suc  U. ( A  u.  B )  ->  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  a ) )  =  ( F `  ( B  i^i  a
) )  ->  ( A  i^i  a )  =  ( B  i^i  a
) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  ( ( F `
 ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  ->  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
)  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) ) ) ) )
50 in0 3655 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  (/) )  =  (/)
51 in0 3655 . . . . . 6  |-  ( B  i^i  (/) )  =  (/)
5250, 51eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  ( A  i^i  (/) )  =  ( B  i^i  (/) )
5352a1ii 26 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  (/) ) )  =  ( F `  ( B  i^i  (/) ) )  -> 
( A  i^i  (/) )  =  ( B  i^i  (/) ) ) )
54 simp13 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  b ) ) )
55 3simpa 955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  (
b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) ) )
56 ackbij1lem2 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  A  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( { b }  u.  ( A  i^i  b ) ) )
5756fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  A  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( { b }  u.  ( A  i^i  b
) ) ) )
58573ad2ant2 980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( { b }  u.  ( A  i^i  b ) ) ) )
59 ackbij1lem4 8108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  om  ->  { b }  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
6059adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  { b }  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
61 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
62 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  b )  C_  A
63 ackbij.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
6463ackbij1lem11 8115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  b
)  C_  A )  ->  ( A  i^i  b
)  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
6561, 62, 64sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( A  i^i  b )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
66 incom 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { b }  i^i  ( A  i^i  b ) )  =  ( ( A  i^i  b )  i^i 
{ b } )
67 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  i^i  b )  C_  b
68 nnord 4856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( b  e.  om  ->  Ord  b )
69 orddisj 4622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Ord  b  ->  ( b  i^i  { b } )  =  (/) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  e.  om  ->  (
b  i^i  { b } )  =  (/) )
7170adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  (
b  i^i  { b } )  =  (/) )
72 ssdisj 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  i^i  b
)  C_  b  /\  ( b  i^i  {
b } )  =  (/) )  ->  ( ( A  i^i  b )  i^i  { b } )  =  (/) )
7367, 71, 72sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  (
( A  i^i  b
)  i^i  { b } )  =  (/) )
7466, 73syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( { b }  i^i  ( A  i^i  b
) )  =  (/) )
7563ackbij1lem9 8113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { b }  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  b )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( { b }  i^i  ( A  i^i  b ) )  =  (/) )  ->  ( F `  ( {
b }  u.  ( A  i^i  b ) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b ) ) ) )
7660, 65, 74, 75syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( F `  ( {
b }  u.  ( A  i^i  b ) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b ) ) ) )
77763ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( { b }  u.  ( A  i^i  b
) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b
) ) ) )
7858, 77eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b ) ) ) )
7955, 78syl3an1 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b ) ) ) )
80 ackbij1lem2 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  B  ->  ( B  i^i  suc  b )  =  ( { b }  u.  ( B  i^i  b ) ) )
8180fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  B  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( { b }  u.  ( B  i^i  b
) ) ) )
82813ad2ant3 981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( { b }  u.  ( B  i^i  b ) ) ) )
83 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
84 inss1 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  i^i  b )  C_  B
8563ackbij1lem11 8115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  b
)  C_  B )  ->  ( B  i^i  b
)  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
8683, 84, 85sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( B  i^i  b )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
87 incom 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { b }  i^i  ( B  i^i  b ) )  =  ( ( B  i^i  b )  i^i 
{ b } )
88 inss2 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  i^i  b )  C_  b
89 ssdisj 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  i^i  b
)  C_  b  /\  ( b  i^i  {
b } )  =  (/) )  ->  ( ( B  i^i  b )  i^i  { b } )  =  (/) )
9088, 71, 89sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  (
( B  i^i  b
)  i^i  { b } )  =  (/) )
9187, 90syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( { b }  i^i  ( B  i^i  b
) )  =  (/) )
9263ackbij1lem9 8113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { b }  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( B  i^i  b )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( { b }  i^i  ( B  i^i  b ) )  =  (/) )  ->  ( F `  ( {
b }  u.  ( B  i^i  b ) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
9360, 86, 91, 92syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( F `  ( {
b }  u.  ( B  i^i  b ) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
94933ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( { b }  u.  ( B  i^i  b
) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b
) ) ) )
9582, 94eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
)  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
9655, 95syl3an1 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
)  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
9754, 79, 963eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b
) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b
) ) ) )
9863ackbij1lem10 8114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) --> om
9998ffvelrni 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { b }  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  { b } )  e.  om )
10060, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( F `  { b } )  e.  om )
10198ffvelrni 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  i^i  b )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( A  i^i  b ) )  e. 
om )
10265, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( F `  ( A  i^i  b ) )  e. 
om )
10398ffvelrni 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  i^i  b )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( B  i^i  b ) )  e. 
om )
10486, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  ( F `  ( B  i^i  b ) )  e. 
om )
105 nnacan 6874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  {
b } )  e. 
om  /\  ( F `  ( A  i^i  b
) )  e.  om  /\  ( F `  ( B  i^i  b ) )  e.  om )  -> 
( ( ( F `
 { b } )  +o  ( F `
 ( A  i^i  b ) ) )  =  ( ( F `
 { b } )  +o  ( F `
 ( B  i^i  b ) ) )  <-> 
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) ) ) )
106100, 102, 104, 105syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
) )  ->  (
( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b
) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b
) ) )  <->  ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
1071063adant3 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  (
( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( A  i^i  b
) ) )  =  ( ( F `  { b } )  +o  ( F `  ( B  i^i  b
) ) )  <->  ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
1081073ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( ( ( F `
 { b } )  +o  ( F `
 ( A  i^i  b ) ) )  =  ( ( F `
 { b } )  +o  ( F `
 ( B  i^i  b ) ) )  <-> 
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) ) ) )
10997, 108mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) ) )
110 uneq2 3497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b )  ->  ( { b }  u.  ( A  i^i  b
) )  =  ( { b }  u.  ( B  i^i  b
) ) )
111110adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  A  /\  b  e.  B
)  /\  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( {
b }  u.  ( A  i^i  b ) )  =  ( { b }  u.  ( B  i^i  b ) ) )
11256ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  A  /\  b  e.  B
)  /\  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( { b }  u.  ( A  i^i  b ) ) )
11380ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  A  /\  b  e.  B
)  /\  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( B  i^i  suc  b )  =  ( { b }  u.  ( B  i^i  b ) ) )
114111, 112, 1133eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  A  /\  b  e.  B
)  /\  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) )
115114ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b
) ) )
1161153adant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b
) ) )
117109, 116embantd 53 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  b  e.  B )  ->  ( ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
1181173exp 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  (
b  e.  A  -> 
( b  e.  B  ->  ( ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
119 simp13 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )
120119eqcomd 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( A  i^i  suc  b )
) )
121 simp12r 1072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
122 simp12l 1071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
123 simp11 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  b  e.  om )
124 simp3 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  b  e.  B )
125 simp2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  -.  b  e.  A )
12663ackbij1lem15 8119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  om  /\  b  e.  B  /\  -.  b  e.  A
) )  ->  -.  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( A  i^i  suc  b ) ) )
127121, 122, 123, 124, 125, 126syl23anc 1192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  -.  ( F `  ( B  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( A  i^i  suc  b
) ) )
128120, 127pm2.21dd 102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  b  e.  B
)  ->  ( (
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
1291283exp 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  ( -.  b  e.  A  ->  ( b  e.  B  ->  ( ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
130118, 129pm2.61d 153 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  (
b  e.  B  -> 
( ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) )
131 simp13 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )
132 simp12l 1071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  A  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
133 simp12r 1072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
134 simp11 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  b  e.  om )
135 simp2 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  b  e.  A )
136 simp3 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  -.  b  e.  B )
13763ackbij1lem15 8119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  (
b  e.  om  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
) )  ->  -.  ( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  b ) ) )
138132, 133, 134, 135, 136, 137syl23anc 1192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  -.  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )
139131, 138pm2.21dd 102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( (
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
1401393exp 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  (
b  e.  A  -> 
( -.  b  e.  B  ->  ( (
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
141 simp13 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )
142 ackbij1lem1 8105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  b  e.  A  -> 
( A  i^i  suc  b )  =  ( A  i^i  b ) )
143142adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( A  i^i  b
) )
144143fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( A  i^i  b ) ) )
145 ackbij1lem1 8105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  b  e.  B  -> 
( B  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  b ) )
146145adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( B  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  b
) )
147146fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) )
148144, 147eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) )  <->  ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
149148biimpd 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) )  ->  ( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
1501493adant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) )  ->  ( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) ) )
151141, 150mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) ) )
152143, 146eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b )  <->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) ) )
153152biimprd 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
)  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
1541533adant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
)  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
155151, 154embantd 53 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) ) )  /\  -.  b  e.  A  /\  -.  b  e.  B
)  ->  ( (
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
1561553exp 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  ( -.  b  e.  A  ->  ( -.  b  e.  B  ->  ( (
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
157140, 156pm2.61d 153 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  ( -.  b  e.  B  ->  ( ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) )
158130, 157pm2.61d 153 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  /\  ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b )
) )  ->  (
( ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) )
1591583exp 1153 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  (
( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  b ) )  -> 
( ( ( F `
 ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
160159com34 80 . . . . 5  |-  ( b  e.  om  ->  (
( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( ( F `  ( A  i^i  b
) )  =  ( F `  ( B  i^i  b ) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b ) )  ->  ( ( F `  ( A  i^i  suc  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  b
) )  ->  ( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b ) ) ) ) )
161160a2d 25 . . . 4  |-  ( b  e.  om  ->  (
( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  b ) )  =  ( F `  ( B  i^i  b
) )  ->  ( A  i^i  b )  =  ( B  i^i  b
) ) )  -> 
( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  suc  b )
)  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  b ) )  -> 
( A  i^i  suc  b )  =  ( B  i^i  suc  b
) ) ) ) )
16225, 33, 41, 49, 53, 161finds 4874 . . 3  |-  ( suc  U. ( A  u.  B
)  e.  om  ->  ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  =  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) )  ->  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
)  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
) ) ) )
16317, 162mpcom 35 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B ) ) )  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) )  -> 
( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) )  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) ) )
164 omsson 4852 . . . . . . . 8  |-  om  C_  On
1658, 164syl6ss 3362 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  C_  On )
166 onsucuni 4811 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  On  ->  ( A  u.  B )  C_  suc  U. ( A  u.  B ) )
167165, 166syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  C_  suc  U. ( A  u.  B
) )
168167unssad 3526 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  A  C_  suc  U. ( A  u.  B
) )
169 df-ss 3336 . . . . 5  |-  ( A 
C_  suc  U. ( A  u.  B )  <->  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) )  =  A )
170168, 169sylib 190 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B ) )  =  A )
171170fveq2d 5735 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) )  =  ( F `  A
) )
172167unssbd 3527 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  B  C_  suc  U. ( A  u.  B
) )
173 df-ss 3336 . . . . 5  |-  ( B 
C_  suc  U. ( A  u.  B )  <->  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) )  =  B )
174172, 173sylib 190 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B ) )  =  B )
175174fveq2d 5735 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( F `  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) )  =  ( F `  B
) )
176171, 175eqeq12d 2452 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B ) ) )  =  ( F `
 ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B
) ) )  <->  ( F `  A )  =  ( F `  B ) ) )
177170, 174eqeq12d 2452 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( A  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
)  =  ( B  i^i  suc  U. ( A  u.  B )
)  <->  A  =  B
) )
178163, 176, 1773imtr3d 260 1  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  A )  =  ( F `  B )  ->  A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816   U.cuni 4017   U_ciun 4095    e. cmpt 4269   Ord word 4583   Oncon0 4584   suc csuc 4586   omcom 4848    X. cxp 4879   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    +o coa 6724   Fincfn 7112   cardccrd 7827
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This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-cda 8053
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