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Theorem ackbij1lem9 7870
Description: Lemma for ackbij1 7880. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij1lem9  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( F `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( F `  A )  +o  ( F `  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem ackbij1lem9
StepHypRef Expression
1 inss2 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
21sseli 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  Fin )
323ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A  e.  Fin )
4 snfi 6957 . . . . . . . . . 10  |-  { y }  e.  Fin
5 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
~P om
65sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  e.  ~P om )
7 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ~P om  ->  A 
C_  om )
86, 7syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  A  C_ 
om )
983ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A  C_  om )
10 onfin2 7068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
11 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
1210, 11eqsstri 3221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  C_  Fin
139, 12syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A  C_  Fin )
1413sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  Fin )
15 pwfi 7167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Fin  <->  ~P y  e.  Fin )
1614, 15sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  A )  ->  ~P y  e.  Fin )
17 xpfi 7144 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { y }  e.  Fin  /\  ~P y  e. 
Fin )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
184, 16, 17sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  A )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
1918ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A. y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
20 iunfi 7160 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
213, 19, 20syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
22 ficardid 7611 . . . . . . 7  |-  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y ) )
2321, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  ~~  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )
241sseli 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  Fin )
25243ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  B  e.  Fin )
265sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  e.  ~P om )
27 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ~P om  ->  B 
C_  om )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  B  C_ 
om )
29283ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  B  C_  om )
3029, 12syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  B  C_  Fin )
3130sselda 3193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  Fin )
3231, 15sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  B )  ->  ~P y  e.  Fin )
334, 32, 17sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  B )  ->  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
3433ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  A. y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
35 iunfi 7160 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A. y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )  ->  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
3625, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  ->  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin )
37 ficardid 7611 . . . . . . 7  |-  ( U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )
3836, 37syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) )  ~~  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) )
39 cdaen 7815 . . . . . 6  |-  ( ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  /\  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) )  ~~  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) )  -> 
( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  ( U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
4023, 38, 39syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  ( U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
41 djudisj 5120 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  i^i  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  =  (/) )
42413ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  i^i  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  =  (/) )
43 cdaun 7814 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  /\ 
U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  /\  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
)  i^i  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) )  =  (/) )  ->  ( U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  ~~  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  u.  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
4421, 36, 42, 43syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  ~~  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  u.  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
45 iunxun 3999 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
)  =  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  u.  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )
4644, 45syl6breqr 4079 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) )
47 entr 6929 . . . . 5  |-  ( ( ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  ( U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  /\  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  +c  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  ~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) )  -> 
( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) )
4840, 46, 47syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) )
49 carden2b 7616 . . . 4  |-  ( ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) 
~~  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y )  ->  ( card `  (
( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )  =  ( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
) ) )
5048, 49syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )  =  ( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
) ) )
51 ficardom 7610 . . . . 5  |-  ( U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )
5221, 51syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  e.  om )
53 ficardom 7610 . . . . 5  |-  ( U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )
5436, 53syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) )  e.  om )
55 nnacda 7843 . . . 4  |-  ( ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  e. 
om  /\  ( card ` 
U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y ) )  e. 
om )  ->  ( card `  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y ) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) )  =  ( (
card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )
5652, 54, 55syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +c  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )  =  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y ) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) )
5750, 56eqtr3d 2330 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
) )  =  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) )
58 ackbij1lem6 7867 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( A  u.  B )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
59583adant3 975 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )
)
60 ackbij.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
6160ackbij1lem7 7868 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  ( A  u.  B ) )  =  ( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B
) ( { y }  X.  ~P y
) ) )
6259, 61syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( F `  ( A  u.  B )
)  =  ( card `  U_ y  e.  ( A  u.  B ) ( { y }  X.  ~P y ) ) )
6360ackbij1lem7 7868 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  A )  =  ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
6460ackbij1lem7 7868 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( F `  B )  =  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
6563, 64oveqan12d 5893 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( ( F `  A )  +o  ( F `  B
) )  =  ( ( card `  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  ~P y ) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( {
y }  X.  ~P y ) ) ) )
66653adant3 975 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( F `  A )  +o  ( F `  B )
)  =  ( (
card `  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  ~P y
) )  +o  ( card `  U_ y  e.  B  ( { y }  X.  ~P y
) ) ) )
6757, 62, 663eqtr4d 2338 1  |-  ( ( A  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  B  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( F `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( F `  A )  +o  ( F `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Oncon0 4408   omcom 4672    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    +o coa 6492    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   cardccrd 7584    +c ccda 7809
This theorem is referenced by:  ackbij1lem12  7873  ackbij1lem13  7874  ackbij1lem14  7875  ackbij1lem16  7877  ackbij1lem18  7879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-cda 7810
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