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Theorem ackbij2 8115
Description: The Ackermann bijection, part 2: hereditarily finite sets can be represented by recursive binary notation. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
ackbij.g  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
ackbij.h  |-  H  = 
U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )
Assertion
Ref Expression
ackbij2  |-  H : U. ( R1 " om )
-1-1-onto-> om
Distinct variable groups:    x, F, y    x, G, y    x, H, y

Proof of Theorem ackbij2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
2 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  e.  _V
31, 2fun11iun 5687 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  om  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-> om  /\ 
A. b  e.  om  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) )  ->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e. 
om  ( R1 `  a ) -1-1-> om )
4 ackbij.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
5 ackbij.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
64, 5ackbij2lem2 8112 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) ) )
7 f1of1 5665 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a )
-1-1-> ( card `  ( R1 `  a ) ) )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-> ( card `  ( R1 `  a
) ) )
9 ordom 4846 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
10 r1fin 7691 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  om  ->  ( R1 `  a )  e. 
Fin )
11 ficardom 7840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1 `  a )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  e. 
om )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  e. 
om )
13 ordelss 4589 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  ( card `  ( R1 `  a ) )  e. 
om )  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  C_  om )
149, 12, 13sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  C_  om )
15 f1ss 5636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-> (
card `  ( R1 `  a ) )  /\  ( card `  ( R1 `  a ) )  C_  om )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a )
-1-1-> om )
168, 14, 15syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-> om )
17 nnord 4845 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  om  ->  Ord  a )
18 nnord 4845 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  Ord  b )
19 ordtri2or2 4670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  a  /\  Ord  b )  ->  (
a  C_  b  \/  b  C_  a ) )
2017, 18, 19syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( a  C_  b  \/  b  C_  a ) )
214, 5ackbij2lem4 8114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  a  e.  om )  /\  a  C_  b )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
)
2221ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  a  e.  om )  ->  ( a  C_  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
2322ancoms 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( a  C_  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
244, 5ackbij2lem4 8114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  a )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )
)
2524ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( b  C_  a  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) )
2623, 25orim12d 812 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( a  C_  b  \/  b  C_  a )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
) ) ) )
2720, 26mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) )
2827ralrimiva 2781 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  A. b  e.  om  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
) ) )
2916, 28jca 519 . . . . 5  |-  ( a  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-> om  /\ 
A. b  e.  om  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) ) )
303, 29mprg 2767 . . . 4  |-  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e.  om  ( R1 `  a ) -1-1-> om
31 rdgfun 6666 . . . . . 6  |-  Fun  rec ( G ,  (/) )
32 funiunfv 5987 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
rec ( G ,  (/) )  ->  U_ a  e. 
om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )
)
3332eqcomd 2440 . . . . . 6  |-  ( Fun 
rec ( G ,  (/) )  ->  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  = 
U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) )
34 f1eq1 5626 . . . . . 6  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  ->  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om ) )
3531, 33, 34mp2b 10 . . . . 5  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om )
36 r1funlim 7684 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
3736simpli 445 . . . . . 6  |-  Fun  R1
38 funiunfv 5987 . . . . . 6  |-  ( Fun 
R1  ->  U_ a  e.  om  ( R1 `  a )  =  U. ( R1
" om ) )
39 f1eq2 5627 . . . . . 6  |-  ( U_ a  e.  om  ( R1 `  a )  = 
U. ( R1 " om )  ->  ( U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e.  om  ( R1 `  a )
-1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om ) )
4037, 38, 39mp2b 10 . . . . 5  |-  ( U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e.  om  ( R1 `  a )
-1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om )
4135, 40bitr4i 244 . . . 4  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e. 
om  ( R1 `  a ) -1-1-> om )
4230, 41mpbir 201 . . 3  |-  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om
43 rnuni 5275 . . . 4  |-  ran  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a
44 eliun 4089 . . . . . 6  |-  ( b  e.  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a  <->  E. a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) b  e.  ran  a )
45 df-rex 2703 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) b  e.  ran  a  <->  E. a
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a ) )
46 funfn 5474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
rec ( G ,  (/) )  <->  rec ( G ,  (/) )  Fn  dom  rec ( G ,  (/) ) )
4731, 46mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  rec ( G ,  (/) )  Fn 
dom  rec ( G ,  (/) )
48 rdgdmlim 6667 . . . . . . . . . . . 12  |-  Lim  dom  rec ( G ,  (/) )
49 limomss 4842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
dom  rec ( G ,  (/) )  ->  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) ) )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) )
51 fvelimab 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( G ,  (/) )  Fn  dom  rec ( G ,  (/) )  /\  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) ) )  -> 
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  <->  E. c  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a ) )
5247, 50, 51mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  <->  E. c  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a )
534, 5ackbij2lem2 8112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  c ) ) )
54 f1ofo 5673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  c ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c )
-onto-> ( card `  ( R1 `  c ) ) )
55 forn 5648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c ) -onto-> ( card `  ( R1 `  c
) )  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  ( card `  ( R1 `  c ) ) )
5653, 54, 553syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  om  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  ( card `  ( R1 `  c ) ) )
57 r1fin 7691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  om  ->  ( R1 `  c )  e. 
Fin )
58 ficardom 7840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R1 `  c )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  e. 
om )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  e. 
om )
60 ordelss 4589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  om  /\  ( card `  ( R1 `  c ) )  e. 
om )  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  C_  om )
619, 59, 60sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  C_  om )
6256, 61eqsstrd 3374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  om  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) 
C_  om )
63 rneq 5087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  ran  a )
6463sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a  ->  ( ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c
)  C_  om  <->  ran  a  C_  om ) )
6562, 64syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  c
)  =  a  ->  ran  a  C_  om )
)
6665rexlimiv 2816 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. c  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a  ->  ran  a  C_ 
om )
6752, 66sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  ->  ran  a  C_ 
om )
6867sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  ->  b  e.  om )
6968exlimiv 1644 . . . . . . 7  |-  ( E. a ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  ->  b  e.  om )
70 peano2 4857 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  om )
71 fnfvima 5968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( G ,  (/) )  Fn  dom  rec ( G ,  (/) )  /\  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) )  /\  suc  b  e.  om )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )
)
7247, 50, 71mp3an12 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) )
7370, 72syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) )
74 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
75 cardnn 7842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  b  e.  om  ->  (
card `  suc  b )  =  suc  b )
76 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  suc  b )  e.  _V
7736simpri 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Lim  dom  R1
78 limomss 4842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  om  C_  dom  R1 )
7977, 78ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  om  C_  dom  R1
8079sseli 3336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  dom  R1 )
81 onssr1 7749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  dom  R1  ->  suc  b  C_  ( R1 `  suc  b ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  C_  ( R1 ` 
suc  b ) )
83 ssdomg 7145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R1 `  suc  b
)  e.  _V  ->  ( suc  b  C_  ( R1 `  suc  b )  ->  suc  b  ~<_  ( R1
`  suc  b )
) )
8476, 82, 83mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  ~<_  ( R1 `  suc  b ) )
85 nnon 4843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  On )
86 onenon 7828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  On  ->  suc  b  e.  dom  card )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  dom  card )
88 r1fin 7691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b
)  e.  Fin )
89 finnum 7827 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R1 `  suc  b
)  e.  Fin  ->  ( R1 `  suc  b
)  e.  dom  card )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b
)  e.  dom  card )
91 carddom2 7856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  b  e.  dom  card  /\  ( R1 `  suc  b )  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  suc  b ) 
C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  suc  b  ~<_  ( R1
`  suc  b )
) )
9287, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( ( card `  suc  b )  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  suc  b  ~<_  ( R1 `  suc  b
) ) )
9384, 92mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  b  e.  om  ->  (
card `  suc  b ) 
C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
9475, 93eqsstr3d 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
9570, 94syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
96 sucssel 4666 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  _V  ->  ( suc  b  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  -> 
b  e.  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
9774, 95, 96mpsyl 61 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
984, 5ackbij2lem2 8112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
9970, 98syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
100 f1ofo 5673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b
) -onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
101 forn 5648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -onto->
( card `  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  (
card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) )
10299, 100, 1013syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  =  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
10397, 102eleqtrrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
104 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  _V
105 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )
) )
106 rneq 5087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ran  a  =  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
107106eleq2d 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
b  e.  ran  a  <->  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) )
108105, 107anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  <->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) ) )
109104, 108spcev 3035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) )  ->  E. a
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a ) )
11073, 103, 109syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  E. a
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a ) )
11169, 110impbii 181 . . . . . 6  |-  ( E. a ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  <->  b  e.  om )
11244, 45, 1113bitri 263 . . . . 5  |-  ( b  e.  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a  <->  b  e.  om )
113112eqriv 2432 . . . 4  |-  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a  =  om
11443, 113eqtri 2455 . . 3  |-  ran  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  om
115 dff1o5 5675 . . 3  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om  <->  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  /\  ran  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  om ) )
11642, 114, 115mpbir2an 887 . 2  |-  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om
117 ackbij.h . . 3  |-  H  = 
U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )
118 f1oeq1 5657 . . 3  |-  ( H  =  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  -> 
( H : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om  <->  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1
" om ) -1-1-onto-> om )
)
119117, 118ax-mp 8 . 2  |-  ( H : U. ( R1
" om ) -1-1-onto-> om  <->  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om )
120116, 119mpbir 201 1  |-  H : U. ( R1 " om )
-1-1-onto-> om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   U.cuni 4007   U_ciun 4085   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   Ord word 4572   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   suc csuc 4575   omcom 4837    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   -1-1->wf1 5443   -onto->wfo 5444   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446   reccrdg 6659    ~<_ cdom 7099   Fincfn 7101   R1cr1 7680   cardccrd 7814
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-r1 7682  df-rank 7683  df-card 7818  df-cda 8040
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