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Theorem ackbij2 7869
Description: The Ackermann bijection, part 2: hereditarily finite sets can be represented by recursive binary notation. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
ackbij.g  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
ackbij.h  |-  H  = 
U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )
Assertion
Ref Expression
ackbij2  |-  H : U. ( R1 " om )
-1-1-onto-> om
Distinct variable groups:    x, F, y    x, G, y    x, H, y

Proof of Theorem ackbij2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
2 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  e.  _V
31, 2fun11iun 5493 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  om  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-> om  /\ 
A. b  e.  om  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) )  ->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e. 
om  ( R1 `  a ) -1-1-> om )
4 ackbij.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
5 ackbij.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
64, 5ackbij2lem2 7866 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) ) )
7 f1of1 5471 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a )
-1-1-> ( card `  ( R1 `  a ) ) )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-> ( card `  ( R1 `  a
) ) )
9 ordom 4665 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
10 r1fin 7445 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  om  ->  ( R1 `  a )  e. 
Fin )
11 ficardom 7594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1 `  a )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  e. 
om )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  e. 
om )
13 ordelss 4408 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  ( card `  ( R1 `  a ) )  e. 
om )  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  C_  om )
149, 12, 13sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  C_  om )
15 f1ss 5442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-> (
card `  ( R1 `  a ) )  /\  ( card `  ( R1 `  a ) )  C_  om )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a )
-1-1-> om )
168, 14, 15syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-> om )
17 nnord 4664 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  om  ->  Ord  a )
18 nnord 4664 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  Ord  b )
19 ordtri2or2 4489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  a  /\  Ord  b )  ->  (
a  C_  b  \/  b  C_  a ) )
2017, 18, 19syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( a  C_  b  \/  b  C_  a ) )
214, 5ackbij2lem4 7868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  a  e.  om )  /\  a  C_  b )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
)
2221ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  a  e.  om )  ->  ( a  C_  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
2322ancoms 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( a  C_  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
244, 5ackbij2lem4 7868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  /\  b  C_  a )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )
)
2524ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( b  C_  a  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) )
2623, 25orim12d 811 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( a  C_  b  \/  b  C_  a )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
) ) ) )
2720, 26mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  om )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) )
2827ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  ->  A. b  e.  om  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a
) ) )
2916, 28jca 518 . . . . 5  |-  ( a  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-> om  /\ 
A. b  e.  om  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  \/  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) ) ) )
303, 29mprg 2612 . . . 4  |-  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e.  om  ( R1 `  a ) -1-1-> om
31 rdgfun 6429 . . . . . 6  |-  Fun  rec ( G ,  (/) )
32 funiunfv 5774 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
rec ( G ,  (/) )  ->  U_ a  e. 
om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )
)
3332eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( Fun 
rec ( G ,  (/) )  ->  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  = 
U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) )
34 f1eq1 5432 . . . . . 6  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  ->  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om ) )
3531, 33, 34mp2b 9 . . . . 5  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om )
36 r1funlim 7438 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
3736simpli 444 . . . . . 6  |-  Fun  R1
38 funiunfv 5774 . . . . . 6  |-  ( Fun 
R1  ->  U_ a  e.  om  ( R1 `  a )  =  U. ( R1
" om ) )
39 f1eq2 5433 . . . . . 6  |-  ( U_ a  e.  om  ( R1 `  a )  = 
U. ( R1 " om )  ->  ( U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e.  om  ( R1 `  a )
-1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om ) )
4037, 38, 39mp2b 9 . . . . 5  |-  ( U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e.  om  ( R1 `  a )
-1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U. ( R1
" om ) -1-1-> om )
4135, 40bitr4i 243 . . . 4  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  <->  U_ a  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : U_ a  e. 
om  ( R1 `  a ) -1-1-> om )
4230, 41mpbir 200 . . 3  |-  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om
43 rnuni 5092 . . . 4  |-  ran  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a
44 eliun 3909 . . . . . 6  |-  ( b  e.  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a  <->  E. a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) b  e.  ran  a )
45 df-rex 2549 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) b  e.  ran  a  <->  E. a
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a ) )
46 funfn 5283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
rec ( G ,  (/) )  <->  rec ( G ,  (/) )  Fn  dom  rec ( G ,  (/) ) )
4731, 46mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  rec ( G ,  (/) )  Fn 
dom  rec ( G ,  (/) )
48 rdgdmlim 6430 . . . . . . . . . . . 12  |-  Lim  dom  rec ( G ,  (/) )
49 limomss 4661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim 
dom  rec ( G ,  (/) )  ->  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) ) )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) )
51 fvelimab 5578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( G ,  (/) )  Fn  dom  rec ( G ,  (/) )  /\  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) ) )  -> 
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  <->  E. c  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a ) )
5247, 50, 51mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  <->  E. c  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a )
534, 5ackbij2lem2 7866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  c ) ) )
54 f1ofo 5479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  c ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c )
-onto-> ( card `  ( R1 `  c ) ) )
55 forn 5454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) : ( R1 `  c ) -onto-> ( card `  ( R1 `  c
) )  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  ( card `  ( R1 `  c ) ) )
5653, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  om  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  ( card `  ( R1 `  c ) ) )
57 r1fin 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  om  ->  ( R1 `  c )  e. 
Fin )
58 ficardom 7594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R1 `  c )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  e. 
om )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  e. 
om )
60 ordelss 4408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  om  /\  ( card `  ( R1 `  c ) )  e. 
om )  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  C_  om )
619, 59, 60sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  c ) )  C_  om )
6256, 61eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  om  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c ) 
C_  om )
63 rneq 4904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  ran  a )
6463sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a  ->  ( ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  c
)  C_  om  <->  ran  a  C_  om ) )
6562, 64syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  c
)  =  a  ->  ran  a  C_  om )
)
6665rexlimiv 2661 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. c  e.  om  ( rec ( G ,  (/) ) `  c )  =  a  ->  ran  a  C_ 
om )
6752, 66sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  ->  ran  a  C_ 
om )
6867sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  ->  b  e.  om )
6968exlimiv 1666 . . . . . . 7  |-  ( E. a ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  ->  b  e.  om )
70 peano2 4676 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  om )
71 fnfvima 5756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( G ,  (/) )  Fn  dom  rec ( G ,  (/) )  /\  om  C_  dom  rec ( G ,  (/) )  /\  suc  b  e.  om )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )
)
7247, 50, 71mp3an12 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) )
7370, 72syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) )
74 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  b  e. 
_V
75 cardnn 7596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  b  e.  om  ->  (
card `  suc  b )  =  suc  b )
76 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  suc  b )  e.  _V
7736simpri 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Lim  dom  R1
78 limomss 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  om  C_  dom  R1 )
7977, 78ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  om  C_  dom  R1
8079sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  dom  R1 )
81 onssr1 7503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  dom  R1  ->  suc  b  C_  ( R1 `  suc  b ) )
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  C_  ( R1 ` 
suc  b ) )
83 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R1 `  suc  b
)  e.  _V  ->  ( suc  b  C_  ( R1 `  suc  b )  ->  suc  b  ~<_  ( R1
`  suc  b )
) )
8476, 82, 83mpsyl 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  ~<_  ( R1 `  suc  b ) )
85 nnon 4662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  On )
86 onenon 7582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  On  ->  suc  b  e.  dom  card )
8785, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  dom  card )
88 r1fin 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b
)  e.  Fin )
89 finnum 7581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R1 `  suc  b
)  e.  Fin  ->  ( R1 `  suc  b
)  e.  dom  card )
9088, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b
)  e.  dom  card )
91 carddom2 7610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( suc  b  e.  dom  card  /\  ( R1 `  suc  b )  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  suc  b ) 
C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  suc  b  ~<_  ( R1
`  suc  b )
) )
9287, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( ( card `  suc  b )  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  suc  b  ~<_  ( R1 `  suc  b
) ) )
9384, 92mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  b  e.  om  ->  (
card `  suc  b ) 
C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
9475, 93eqsstr3d 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
9570, 94syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
96 sucssel 4485 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  _V  ->  ( suc  b  C_  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  -> 
b  e.  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
9774, 95, 96mpsyl 59 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
984, 5ackbij2lem2 7866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
9970, 98syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
100 f1ofo 5479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b
) -onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
101 forn 5454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -onto->
( card `  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  (
card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) )
10299, 100, 1013syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  =  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
10397, 102eleqtrrd 2360 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
104 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  _V
105 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )
) )
106 rneq 4904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ran  a  =  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
107106eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
b  e.  ran  a  <->  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) )
108105, 107anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  <->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) ) )
109104, 108spcev 2875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) )  ->  E. a
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a ) )
11073, 103, 109syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  E. a
( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a ) )
11169, 110impbii 180 . . . . . 6  |-  ( E. a ( a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om )  /\  b  e.  ran  a )  <->  b  e.  om )
11244, 45, 1113bitri 262 . . . . 5  |-  ( b  e.  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a  <->  b  e.  om )
113112eqriv 2280 . . . 4  |-  U_ a  e.  ( rec ( G ,  (/) ) " om ) ran  a  =  om
11443, 113eqtri 2303 . . 3  |-  ran  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  om
115 dff1o5 5481 . . 3  |-  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om  <->  ( U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-> om  /\  ran  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  =  om ) )
11642, 114, 115mpbir2an 886 . 2  |-  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om
117 ackbij.h . . 3  |-  H  = 
U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )
118 f1oeq1 5463 . . 3  |-  ( H  =  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om )  -> 
( H : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om  <->  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1
" om ) -1-1-onto-> om )
)
119117, 118ax-mp 8 . 2  |-  ( H : U. ( R1
" om ) -1-1-onto-> om  <->  U. ( rec ( G ,  (/) ) " om ) : U. ( R1 " om ) -1-1-onto-> om )
120116, 119mpbir 200 1  |-  H : U. ( R1 " om )
-1-1-onto-> om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394   omcom 4656    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   reccrdg 6422    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   R1cr1 7434   cardccrd 7568
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-cda 7794
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