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Theorem ackbij2lem2 7866
Description: Lemma for ackbij2 7869. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
ackbij.g  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem2  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, G, y    x, A, y

Proof of Theorem ackbij2lem2
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) )
2 f1oeq1 5463 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  <-> 
( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  a
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) ) ) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  <-> 
( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  a
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) ) ) )
4 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( R1
`  a )  =  ( R1 `  (/) ) )
54fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( card `  ( R1 `  a
) )  =  (
card `  ( R1 `  (/) ) ) )
6 f1oeq23 5466 . . . 4  |-  ( ( ( R1 `  a
)  =  ( R1
`  (/) )  /\  ( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  (/) ) ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  a
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1
`  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) ) ) )
74, 5, 6syl2anc 642 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  a
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1
`  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) ) ) )
83, 7bitrd 244 . 2  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  <-> 
( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) ) ) )
9 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
10 f1oeq1 5463 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  a ) ) ) )
119, 10syl 15 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  a ) ) ) )
12 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( R1 `  a )  =  ( R1 `  b
) )
1312fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  b ) ) )
14 f1oeq23 5466 . . . 4  |-  ( ( ( R1 `  a
)  =  ( R1
`  b )  /\  ( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  <-> 
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) ) )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  b ) ) ) )
1611, 15bitrd 244 . 2  |-  ( a  =  b  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  b ) ) ) )
17 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
18 f1oeq1 5463 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  a ) ) ) )
1917, 18syl 15 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  a ) ) ) )
20 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( R1 `  a
)  =  ( R1
`  suc  b )
)
2120fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
22 f1oeq23 5466 . . . 4  |-  ( ( ( R1 `  a
)  =  ( R1
`  suc  b )  /\  ( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) ) )
2320, 21, 22syl2anc 642 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) ) )
2419, 23bitrd 244 . 2  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  a ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) ) )
25 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) )
26 f1oeq1 5463 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  a ) ) ) )
2725, 26syl 15 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  a ) ) ) )
28 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( R1 `  a )  =  ( R1 `  A
) )
2928fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  A ) ) )
30 f1oeq23 5466 . . . 4  |-  ( ( ( R1 `  a
)  =  ( R1
`  A )  /\  ( card `  ( R1 `  a ) )  =  ( card `  ( R1 `  A ) ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a ) )  <-> 
( rec ( G ,  (/) ) `  A
) : ( R1
`  A ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  A
) ) ) )
3128, 29, 30syl2anc 642 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  A
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  A ) ) ) )
3227, 31bitrd 244 . 2  |-  ( a  =  A  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
) : ( R1
`  a ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 `  A ) ) ) )
33 f1o0 5510 . . 3  |-  (/) : (/) -1-1-onto-> (/)
34 0ex 4150 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
3534rdg0 6434 . . . . 5  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
36 f1oeq1 5463 . . . . 5  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) ) ) )
3735, 36ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) ) )
38 r10 7440 . . . . 5  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
3938fveq2i 5528 . . . . . 6  |-  ( card `  ( R1 `  (/) ) )  =  ( card `  (/) )
40 card0 7591 . . . . . 6  |-  ( card `  (/) )  =  (/)
4139, 40eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( card `  ( R1 `  (/) ) )  =  (/)
42 f1oeq23 5466 . . . . 5  |-  ( ( ( R1 `  (/) )  =  (/)  /\  ( card `  ( R1 `  (/) ) )  =  (/) )  ->  ( (/) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: (/)
-1-1-onto-> (/) ) )
4338, 41, 42mp2an 653 . . . 4  |-  ( (/) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: (/)
-1-1-onto-> (/) )
4437, 43bitri 240 . . 3  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )  <->  (/)
: (/)
-1-1-onto-> (/) )
4533, 44mpbir 200 . 2  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) : ( R1 `  (/) ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  (/) ) )
46 ackbij.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
4746ackbij1lem17 7862 . . . . . . . . 9  |-  F :
( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-> om
4847a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  F : ( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-> om )
49 r1fin 7445 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  b )  e. 
Fin )
50 ficardom 7594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R1 `  b )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  b ) )  e. 
om )
5149, 50syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  b ) )  e. 
om )
52 ackbij2lem1 7845 . . . . . . . . 9  |-  ( (
card `  ( R1 `  b ) )  e. 
om  ->  ~P ( card `  ( R1 `  b
) )  C_  ( ~P om  i^i  Fin )
)
5351, 52syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )
54 f1ores 5487 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ( ~P
om  i^i  Fin ) -1-1-> om  /\  ~P ( card `  ( R1 `  b
) )  C_  ( ~P om  i^i  Fin )
)  ->  ( F  |` 
~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> ( F
" ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) ) )
5548, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) )
5646ackbij1b 7865 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  ( R1 `  b ) )  e. 
om  ->  ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  =  ( card `  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) )
5751, 56syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  =  ( card `  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) )
58 ficardid 7595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  b )  e.  Fin  ->  ( card `  ( R1 `  b ) )  ~~  ( R1 `  b ) )
5949, 58syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  b ) )  ~~  ( R1 `  b ) )
60 pwen 7034 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  ( R1 `  b ) )  ~~  ( R1 `  b )  ->  ~P ( card `  ( R1 `  b
) )  ~~  ~P ( R1 `  b ) )
61 carden2b 7600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) 
~~  ~P ( R1 `  b )  ->  ( card `  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
6259, 60, 613syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( card `  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
6357, 62eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
64 f1oeq3 5465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  <-> 
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
6563, 64syl 15 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  (
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) -1-1-onto-> ( F " ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  <-> 
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
6655, 65mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> (
card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
6766adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( F  |` 
~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
68 f1opw 6072 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) )  ->  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) : ~P ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )
6968adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) : ~P ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )
70 f1oco 5496 . . . . 5  |-  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) : ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) )  /\  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
7167, 69, 70syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
72 frsuc 6449 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  b )  =  ( G `  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  b ) ) )
73 peano2 4676 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  om )
74 fvres 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  b )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  suc  b )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
76 fvres 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  b )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
7776fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  om  ->  ( G `  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  b ) )  =  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) )
78 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V
79 dmeq 4879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  dom  x  =  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
)
8079pweqd 3630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  ~P dom  x  =  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
81 imaeq1 5007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  (
x " y )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) )
8281fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  ( F `  ( x " y ) )  =  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) )
8380, 82mpteq12dv 4098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  ->  (
y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y
) ) ) )
84 ackbij.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
8578dmex 4941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V
8685pwex 4193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V
8786mptex 5746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) )  e.  _V
8883, 84, 87fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V  ->  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y
) ) ) )
8978, 88ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y
) ) )
9077, 89syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( G `  ( ( rec ( G ,  (/) )  |`  om ) `  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y
) ) ) )
9172, 75, 903eqtr3d 2323 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( y  e. 
~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) ) )
9291adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) ) )
93 f1odm 5476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) )  ->  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( R1 `  b ) )
9493adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( R1 `  b ) )
9594pweqd 3630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
96 mpteq1 4100 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P
dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ~P ( R1 `  b )  ->  ( y  e. 
~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) )  =  ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) ) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) )  =  ( y  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) ) )
98 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) )  e.  _V
99 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) )  =  ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) )
10098, 99fnmpti 5372 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) )  Fn  ~P ( R1 `  b )
101100a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( y  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) )  Fn  ~P ( R1 `  b ) )
102 f1ofn 5473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) )  -> 
( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) )  Fn  ~P ( R1 `  b ) )
10371, 102syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) )  Fn 
~P ( R1 `  b ) )
104 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  -> 
( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) : ~P ( R1 `  b ) --> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )
10569, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) : ~P ( R1
`  b ) --> ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )
106 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) : ~P ( R1 `  b ) --> ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( (
a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c )  e.  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )
107105, 106sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c )  e.  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )
108 fvres 5542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) `  c
)  e.  ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  -> 
( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) )  =  ( F `
 ( ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) ) )
109107, 108syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) )  =  ( F `
 ( ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) ) )
110 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  c  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) )
111 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) )  =  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) )
112 imaexg 5026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  e.  _V  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " c )  e.  _V )
11378, 112ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" c )  e. 
_V
114110, 111, 113fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ~P ( R1
`  b )  -> 
( ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) `
 c )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) )
115114adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) )
116115fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( F `  ( ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) `
 c ) )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) ) )
117109, 116eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) )  =  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) ) )
118 fvco3 5596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) : ~P ( R1 `  b ) --> ~P ( card `  ( R1 `  b ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( (
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) `  c )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) ) )
119105, 118sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) `  c )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) ) `  ( ( a  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) `  c ) ) )
120 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) )
121120fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) ) )
122 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c ) )  e.  _V
123121, 99, 122fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P ( R1
`  b )  -> 
( ( y  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) ) )
124123adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " c
) ) )
125117, 119, 1243eqtr4rd 2326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) ) )  /\  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" y ) ) ) `  c )  =  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) `  c ) )
126101, 103, 125eqfnfvd 5625 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( y  e.  ~P ( R1 `  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " y ) ) )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) )
12797, 126eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  |->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " y ) ) )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) )
12892, 127eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) )
129 f1oeq1 5463 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  =  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) ) )
130128, 129syl 15 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) ) )
131 nnon 4662 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
132 r1suc 7442 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  On  ->  ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
133131, 132syl 15 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
134133fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )
135 f1oeq23 5466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1 `  b )  /\  ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  =  ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
136133, 134, 135syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  (
( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) )  <-> 
( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
137136adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( (
( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e. 
~P ( R1 `  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
" a ) ) ) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b
) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1 `  b ) 
|->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) " a
) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
138130, 137bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  <->  ( ( F  |`  ~P ( card `  ( R1 `  b ) ) )  o.  ( a  e.  ~P ( R1
`  b )  |->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b
) " a ) ) ) : ~P ( R1 `  b ) -1-1-onto-> (
card `  ~P ( R1 `  b ) ) ) )
13971, 138mpbird 223 . . 3  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) : ( R1 `  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b ) ) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b
)
-1-1-onto-> ( card `  ( R1 ` 
suc  b ) ) )
140139ex 423 . 2  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
) : ( R1
`  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  b
) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
1418, 16, 24, 32, 45, 140finds 4682 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) : ( R1 `  A ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   suc csuc 4394   omcom 4656    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   reccrdg 6422    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   R1cr1 7434   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  ackbij2lem3  7867  ackbij2  7869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-r1 7436  df-card 7572  df-cda 7794
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