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Theorem ackbij2lem3 7883
Description: Lemma for ackbij2 7885. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
ackbij.g  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem3  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, G, y    x, A, y

Proof of Theorem ackbij2lem3
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) )
2 suceq 4473 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  suc  a  =  suc  (/) )
32fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) ) )
4 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( R1
`  a )  =  ( R1 `  (/) ) )
53, 4reseq12d 4972 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a
)  |`  ( R1 `  a ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  ( R1 `  (/) ) ) )
61, 5eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  ( R1 `  (/) ) ) ) )
7 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
8 suceq 4473 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  suc  a  =  suc  b )
98fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
10 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( R1 `  a )  =  ( R1 `  b
) )
119, 10reseq12d 4972 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )
127, 11eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a
)  |`  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) ) )
13 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
14 suceq 4473 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  ->  suc  a  =  suc  suc  b )
1514fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) )
16 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( R1 `  a
)  =  ( R1
`  suc  b )
)
1715, 16reseq12d 4972 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
)  |`  ( R1 `  suc  b ) ) )
1813, 17eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a ) )  <-> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
19 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) )
20 suceq 4473 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  suc  a  =  suc  A )
2120fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A ) )
22 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( R1 `  a )  =  ( R1 `  A
) )
2321, 22reseq12d 4972 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A )  |`  ( R1 `  A
) ) )
2419, 23eqeq12d 2310 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a
)  |`  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A )  |`  ( R1 `  A ) ) ) )
25 res0 4975 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  (/) )  =  (/)
26 r10 7456 . . . . 5  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
2726reseq2i 4968 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  ( R1 `  (/) ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  (/) )
28 0ex 4166 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
2928rdg0 6450 . . . 4  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
3025, 27, 293eqtr4ri 2327 . . 3  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  ( R1 `  (/) ) )
31 peano2 4692 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  om )
32 ackbij.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
33 ackbij.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
3432, 33ackbij2lem2 7882 . . . . . . . 8  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
3531, 34syl 15 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
36 f1ofn 5489 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
3735, 36syl 15 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
3837adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
39 peano2 4692 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc 
suc  b  e.  om )
4031, 39syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  suc  suc  b  e.  om )
4132, 33ackbij2lem2 7882 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) : ( R1 `  suc  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  suc  b
) ) )
4240, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
) : ( R1
`  suc  suc  b ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 ` 
suc  suc  b ) ) )
43 f1ofn 5489 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) : ( R1 `  suc  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  suc  b
) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
)  Fn  ( R1
`  suc  suc  b ) )
4442, 43syl 15 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
)  Fn  ( R1
`  suc  suc  b ) )
45 nnon 4678 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  On )
4631, 45syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  On )
47 r1sssuc 7471 . . . . . . . 8  |-  ( suc  b  e.  On  ->  ( R1 `  suc  b
)  C_  ( R1 ` 
suc  suc  b ) )
4846, 47syl 15 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b ) 
C_  ( R1 `  suc  suc  b ) )
49 fnssres 5373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  suc  b
)  /\  ( R1 ` 
suc  b )  C_  ( R1 `  suc  suc  b ) )  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b
) )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
5044, 48, 49syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) )  Fn  ( R1
`  suc  b )
)
5150adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b
) )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
52 nnon 4678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
53 r1suc 7458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  On  ->  ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
5554eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  om  ->  (
c  e.  ( R1
`  suc  b )  <->  c  e.  ~P ( R1
`  b ) ) )
5655biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )
57 vex 2804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  c  e. 
_V
5857elpw 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( R1
`  b )  <->  c  C_  ( R1 `  b ) )
5956, 58sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  C_  ( R1 `  b ) )
60 resima2 5004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
C_  ( R1 `  b )  ->  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" c )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " c
) )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) "
c )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " c
) )
6261fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) ) )
63 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  _V
6463resex 5011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) )  e. 
_V
65 dmeq 4895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  dom  x  =  dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )
6665pweqd 3643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  ~P dom  x  =  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) )
67 imaeq1 5023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  (
x " y )  =  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) "
y ) )
6867fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  ( F `  ( x " y ) )  =  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )
6966, 68mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  (
y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) ) )
7064dmex 4957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  e.  _V
7170pwex 4209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  e.  _V
7271mptex 5762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )  e.  _V
7369, 33, 72fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  e.  _V  ->  ( G `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) ) )
7464, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )
7574fveq1i 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) ) `
 c )  =  ( ( y  e. 
~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  |->  ( F `
 ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) "
y ) ) ) `
 c )
76 r1sssuc 7471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  On  ->  ( R1 `  b )  C_  ( R1 `  suc  b
) )
7752, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  b )  C_  ( R1 `  suc  b
) )
78 fnssres 5373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  b )  /\  ( R1 `  b )  C_  ( R1 `  suc  b ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  Fn  ( R1 `  b ) )
7937, 77, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  Fn  ( R1 `  b ) )
80 fndm 5359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  Fn  ( R1 `  b )  ->  dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  =  ( R1 `  b ) )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  =  ( R1 `  b ) )
8281pweqd 3643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  om  ->  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  =  ~P ( R1
`  b ) )
8382adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  =  ~P ( R1
`  b ) )
8456, 83eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  e.  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) )
85 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y )  =  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) )
8685fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  ( (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) )  =  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) ) )
87 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )
88 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) "
c ) )  e. 
_V
8986, 87, 88fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) ) )
9084, 89syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) ) )
9175, 90syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" c ) ) )
92 dmeq 4895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  dom  x  =  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
9392pweqd 3643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ~P dom  x  =  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) )
94 imaeq1 5023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
x " y )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) )
9594fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ( F `  ( x " y ) )  =  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) )
9693, 95mpteq12dv 4114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) ) ) )
9763dmex 4957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  _V
9897pwex 4209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  e.  _V
9998mptex 5762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) )  e. 
_V
10096, 33, 99fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  e.  _V  ->  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) ) )
10163, 100ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) ) )
102101fveq1i 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c )  =  ( ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) ) `  c )
103 r1tr 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Tr  ( R1 `  suc  b )
104103a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  Tr  ( R1 `  suc  b
) )
105 dftr4 4134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  ( R1 `  suc  b )  <->  ( R1 ` 
suc  b )  C_  ~P ( R1 `  suc  b ) )
106104, 105sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b ) 
C_  ~P ( R1 `  suc  b ) )
107106sselda 3193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  e.  ~P ( R1 `  suc  b
) )
108 f1odm 5492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  ->  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( R1 `  suc  b
) )
10935, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  =  ( R1
`  suc  b )
)
110109pweqd 3643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  om  ->  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ~P ( R1 `  suc  b
) )
111110adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  suc  b )
)
112107, 111eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
113 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) )
114113fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " c
) ) )
115 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) ) )
116 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" c ) )  e.  _V
117114, 115, 116fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ( ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) ) )
118112, 117syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) ) )
119102, 118syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) ) )
12062, 91, 1193eqtr4d 2338 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) ) `  c )  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c ) )
121120adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( G `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) ) `  c )  =  ( ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c ) )
122 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )  =  ( G `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) ) )
123122fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  (
( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )  =  ( ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) ) `  c ) )
124123ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )  =  ( ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) ) `  c ) )
125 rdgsuc 6453 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  b  e.  On  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  =  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) )
12646, 125syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
)  =  ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) )
127126fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c ) )
128127ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c ) )
129121, 124, 1283eqtr4rd 2339 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )
)
130 fvres 5558 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( R1 `  suc  b )  ->  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b
) ) `  c
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
) )
131130adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b
) ) `  c
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
) )
132 rdgsuc 6453 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  On  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
13352, 132syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
134133fveq1d 5543 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )
)
135134ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )
)
136129, 131, 1353eqtr4rd 2339 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) `  c
)  =  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) ) `  c ) )
13738, 51, 136eqfnfvd 5641 . . . 4  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) ) )
138137ex 423 . . 3  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
1396, 12, 18, 24, 30, 138finds 4698 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A )  |`  ( R1 `  A
) ) )
140 resss 4995 . . 3  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A
)  |`  ( R1 `  A ) )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A
)
141140a1i 10 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A )  |`  ( R1 `  A ) )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A
) )
142139, 141eqsstrd 3225 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U_ciun 3921    e. cmpt 4093   Tr wtr 4129   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672    X. cxp 4703   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   reccrdg 6438   Fincfn 6879   R1cr1 7450   cardccrd 7584
This theorem is referenced by:  ackbij2lem4  7884
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-r1 7452  df-card 7588  df-cda 7810
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