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Theorem ackbij2lem3 8121
Description: Lemma for ackbij2 8123. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ackbij.f  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
ackbij.g  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ackbij2lem3  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A ) )
Distinct variable groups:    x, F, y    x, G, y    x, A, y

Proof of Theorem ackbij2lem3
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) ) )
2 suceq 4646 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  suc  a  =  suc  (/) )
32fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) ) )
4 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( R1
`  a )  =  ( R1 `  (/) ) )
53, 4reseq12d 5147 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a
)  |`  ( R1 `  a ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  ( R1 `  (/) ) ) )
61, 5eqeq12d 2450 . . 3  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a
) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  ( R1 `  (/) ) ) ) )
7 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )
8 suceq 4646 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  suc  a  =  suc  b )
98fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
10 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( R1 `  a )  =  ( R1 `  b
) )
119, 10reseq12d 5147 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )
127, 11eqeq12d 2450 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a
)  |`  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) ) )
13 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
14 suceq 4646 . . . . . 6  |-  ( a  =  suc  b  ->  suc  a  =  suc  suc  b )
1514fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) )
16 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( R1 `  a
)  =  ( R1
`  suc  b )
)
1715, 16reseq12d 5147 . . . 4  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
)  |`  ( R1 `  suc  b ) ) )
1813, 17eqeq12d 2450 . . 3  |-  ( a  =  suc  b  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a ) )  <-> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
19 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  A ) )
20 suceq 4646 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  suc  a  =  suc  A )
2120fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A ) )
22 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( R1 `  a )  =  ( R1 `  A
) )
2321, 22reseq12d 5147 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a )  |`  ( R1 `  a ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A )  |`  ( R1 `  A
) ) )
2419, 23eqeq12d 2450 . . 3  |-  ( a  =  A  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  a
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  a
)  |`  ( R1 `  a ) )  <->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A )  |`  ( R1 `  A ) ) ) )
25 res0 5150 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  (/) )  =  (/)
26 r10 7694 . . . . 5  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
2726reseq2i 5143 . . . 4  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  ( R1 `  (/) ) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  (/) )
28 0ex 4339 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
2928rdg0 6679 . . . 4  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
3025, 27, 293eqtr4ri 2467 . . 3  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  (/) )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  (/) )  |`  ( R1 `  (/) ) )
31 peano2 4865 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  om )
32 ackbij.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( {
y }  X.  ~P y ) ) )
33 ackbij.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  _V  |->  ( y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) ) )
3432, 33ackbij2lem2 8120 . . . . . . . 8  |-  ( suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
3531, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) : ( R1 `  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) ) )
36 f1ofn 5675 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
3735, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
3837adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
39 peano2 4865 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc 
suc  b  e.  om )
4031, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  suc  suc  b  e.  om )
4132, 33ackbij2lem2 8120 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
suc  b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) : ( R1 `  suc  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  suc  b
) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
) : ( R1
`  suc  suc  b ) -1-1-onto-> (
card `  ( R1 ` 
suc  suc  b ) ) )
43 f1ofn 5675 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) : ( R1 `  suc  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  suc  b
) )  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
)  Fn  ( R1
`  suc  suc  b ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
)  Fn  ( R1
`  suc  suc  b ) )
45 nnon 4851 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  b  e.  om  ->  suc  b  e.  On )
4631, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  suc  b  e.  On )
47 r1sssuc 7709 . . . . . . . 8  |-  ( suc  b  e.  On  ->  ( R1 `  suc  b
)  C_  ( R1 ` 
suc  suc  b ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b ) 
C_  ( R1 `  suc  suc  b ) )
49 fnssres 5558 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  suc  b
)  /\  ( R1 ` 
suc  b )  C_  ( R1 `  suc  suc  b ) )  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b
) )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
5044, 48, 49syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) )  Fn  ( R1
`  suc  b )
)
5150adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  -> 
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b
) )  Fn  ( R1 `  suc  b ) )
52 nnon 4851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  om  ->  b  e.  On )
53 r1suc 7696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  On  ->  ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  b ) )
5554eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  om  ->  (
c  e.  ( R1
`  suc  b )  <->  c  e.  ~P ( R1
`  b ) ) )
5655biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  e.  ~P ( R1 `  b ) )
5756elpwid 3808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  C_  ( R1 `  b ) )
58 resima2 5179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
C_  ( R1 `  b )  ->  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" c )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " c
) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) "
c )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " c
) )
6059fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) ) )
61 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  _V
6261resex 5186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) )  e. 
_V
63 dmeq 5070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  dom  x  =  dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )
6463pweqd 3804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  ~P dom  x  =  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) )
65 imaeq1 5198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  (
x " y )  =  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) "
y ) )
6665fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  ( F `  ( x " y ) )  =  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )
6764, 66mpteq12dv 4287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  (
y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) ) )
6862dmex 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  e.  _V
6968pwex 4382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  e.  _V
7069mptex 5966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )  e.  _V
7167, 33, 70fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  e.  _V  ->  ( G `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) ) )
7262, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )
7372fveq1i 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) ) `
 c )  =  ( ( y  e. 
~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  |->  ( F `
 ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) "
y ) ) ) `
 c )
74 r1sssuc 7709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  On  ->  ( R1 `  b )  C_  ( R1 `  suc  b
) )
7552, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  b )  C_  ( R1 `  suc  b
) )
76 fnssres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  Fn  ( R1 `  suc  b )  /\  ( R1 `  b )  C_  ( R1 `  suc  b ) )  ->  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  Fn  ( R1 `  b ) )
7737, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  Fn  ( R1 `  b ) )
78 fndm 5544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  Fn  ( R1 `  b )  ->  dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  =  ( R1 `  b ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  =  ( R1 `  b ) )
8079pweqd 3804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  om  ->  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  =  ~P ( R1
`  b ) )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  =  ~P ( R1
`  b ) )
8256, 81eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  e.  ~P dom  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) )
83 imaeq2 5199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y )  =  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) )
8483fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  ( (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) )  =  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) ) )
85 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) )
86 fvex 5742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) "
c ) )  e. 
_V
8784, 85, 86fvmpt 5806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) ) )
8882, 87syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P dom  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) 
|->  ( F `  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" y ) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) " c
) ) )
8973, 88syl5eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) )
" c ) ) )
90 dmeq 5070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  dom  x  =  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
9190pweqd 3804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ~P dom  x  =  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) )
92 imaeq1 5198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
x " y )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) )
9392fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ( F `  ( x " y ) )  =  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) )
9491, 93mpteq12dv 4287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  (
y  e.  ~P dom  x  |->  ( F `  ( x " y
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) ) ) )
9561dmex 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  e.  _V
9695pwex 4382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  e.  _V
9796mptex 5966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) )  e. 
_V
9894, 33, 97fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  e.  _V  ->  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) ) )
9961, 98ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) ) )
10099fveq1i 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c )  =  ( ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) ) `  c )
101 r1tr 7702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Tr  ( R1 `  suc  b )
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  Tr  ( R1 `  suc  b
) )
103 dftr4 4307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Tr  ( R1 `  suc  b )  <->  ( R1 ` 
suc  b )  C_  ~P ( R1 `  suc  b ) )
104102, 103sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  om  ->  ( R1 `  suc  b ) 
C_  ~P ( R1 `  suc  b ) )
105104sselda 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  e.  ~P ( R1 `  suc  b
) )
106 f1odm 5678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) : ( R1
`  suc  b ) -1-1-onto-> ( card `  ( R1 `  suc  b ) )  ->  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( R1 `  suc  b
) )
10735, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  om  ->  dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  =  ( R1
`  suc  b )
)
108107pweqd 3804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  om  ->  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ~P ( R1 `  suc  b
) )
109108adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ~P ( R1
`  suc  b )
)
110105, 109eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  c  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) )
111 imaeq2 5199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) )
112111fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " c
) ) )
113 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) )  =  ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |->  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" y ) ) )
114 fvex 5742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )
" c ) )  e.  _V
115112, 113, 114fvmpt 5806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  ->  ( ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) ) )
116110, 115syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( y  e.  ~P dom  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) 
|->  ( F `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) " y
) ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) ) )
117100, 116syl5eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c )  =  ( F `  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
) " c ) ) )
11860, 89, 1173eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  ( R1 ` 
suc  b ) )  ->  ( ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) ) `  c )  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c ) )
119118adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( G `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) ) `  c )  =  ( ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c ) )
120 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) )  =  ( G `  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b ) ) ) )
121120fveq1d 5730 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) )  ->  (
( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )  =  ( ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) ) `  c ) )
122121ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )  =  ( ( G `
 ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) ) `  c ) )
123 rdgsuc 6682 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  b  e.  On  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  =  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) )
12446, 123syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b
)  =  ( G `
 ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) )
125124fveq1d 5730 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c ) )
126125ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) ) `  c ) )
127119, 122, 1263eqtr4rd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )
)
128 fvres 5745 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( R1 `  suc  b )  ->  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b
) ) `  c
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
) )
129128adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b
) ) `  c
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b ) `  c
) )
130 rdgsuc 6682 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  On  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
13152, 130syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b ) ) )
132131fveq1d 5730 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )
)
133132ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) `  c
)  =  ( ( G `  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )
) `  c )
)
134127, 129, 1333eqtr4rd 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) ) )  /\  c  e.  ( R1 `  suc  b
) )  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b ) `  c
)  =  ( ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) ) `  c ) )
13538, 51, 134eqfnfvd 5830 . . . 4  |-  ( ( b  e.  om  /\  ( rec ( G ,  (/) ) `  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  |`  ( R1 `  b
) ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) ) )
136135ex 424 . . 3  |-  ( b  e.  om  ->  (
( rec ( G ,  (/) ) `  b
)  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b
)  |`  ( R1 `  b ) )  -> 
( rec ( G ,  (/) ) `  suc  b )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  suc  b )  |`  ( R1 `  suc  b ) ) ) )
1376, 12, 18, 24, 30, 136finds 4871 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  =  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A )  |`  ( R1 `  A
) ) )
138 resss 5170 . 2  |-  ( ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A
)  |`  ( R1 `  A ) )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A
)
139137, 138syl6eqss 3398 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( rec ( G ,  (/) ) `  A )  C_  ( rec ( G ,  (/) ) `  suc  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U_ciun 4093    e. cmpt 4266   Tr wtr 4302   Oncon0 4581   suc csuc 4583   omcom 4845    X. cxp 4876   dom cdm 4878    |` cres 4880   "cima 4881    Fn wfn 5449   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454   reccrdg 6667   Fincfn 7109   R1cr1 7688   cardccrd 7822
This theorem is referenced by:  ackbij2lem4  8122
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-r1 7690  df-card 7826  df-cda 8048
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