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Theorem ackbijnn 12607
Description: Translate the Ackermann bijection ackbij1 8118 onto the natural numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbijnn.1  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
Assertion
Ref Expression
ackbijnn  |-  F :
( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem ackbijnn
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgval2 11652 . . . 4  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
21hashgf1o 11310 . . 3  |-  ( #  |` 
om ) : om -1-1-onto-> NN0
3 sneq 3825 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  { w }  =  { y } )
4 pweq 3802 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  ~P w  =  ~P y
)
53, 4xpeq12d 4903 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( { w }  X.  ~P w )  =  ( { y }  X.  ~P y ) )
65cbviunv 4130 . . . . . . . 8  |-  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w )  =  U_ y  e.  z  ( { y }  X.  ~P y )
7 iuneq1 4106 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  U_ y  e.  z  ( {
y }  X.  ~P y )  =  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y ) )
86, 7syl5eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w )  =  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y ) )
98fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( card `  U_ w  e.  z  ( { w }  X.  ~P w ) )  =  ( card `  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
109cbvmptv 4300 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ y  e.  x  ( { y }  X.  ~P y ) ) )
1110ackbij1 8118 . . . 4  |-  ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( { w }  X.  ~P w ) ) ) : ( ~P
om  i^i  Fin ) -1-1-onto-> om
12 f1ocnv 5687 . . . . . 6  |-  ( (
#  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  `' ( #  |`  om ) : NN0 -1-1-onto-> om )
132, 12ax-mp 8 . . . . 5  |-  `' (
#  |`  om ) : NN0
-1-1-onto-> om
14 f1opwfi 7410 . . . . 5  |-  ( `' ( #  |`  om ) : NN0
-1-1-onto-> om  ->  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P om  i^i  Fin ) )
1513, 14ax-mp 8 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> ( ~P om  i^i  Fin )
16 f1oco 5698 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) ) : ( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-onto-> om  /\  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> ( ~P om  i^i  Fin ) )  ->  (
( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> om )
1711, 15, 16mp2an 654 . . 3  |-  ( ( z  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> om
18 f1oco 5698 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( z  e.  ( ~P
om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> om )  ->  (
( #  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) ) : ( ~P
NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
192, 17, 18mp2an 654 . 2  |-  ( (
#  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) ) : ( ~P
NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
20 inss2 3562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P
om  i^i  Fin )  C_ 
Fin
21 f1of 5674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ) : ( ~P NN0  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) --> ( ~P om  i^i  Fin ) )
2215, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ) : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) --> ( ~P
om  i^i  Fin )
23 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) )
2423fmpt 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) ( `' ( #  |`  om ) " x )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) : ( ~P NN0  i^i  Fin ) --> ( ~P om  i^i  Fin ) )
2522, 24mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  A. x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) ( `' (
#  |`  om ) "
x )  e.  ( ~P om  i^i  Fin )
2625rspec 2770 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( `' ( #  |`  om ) " x )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
2720, 26sseldi 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( `' ( #  |`  om ) " x )  e. 
Fin )
28 snfi 7187 . . . . . . . . . . 11  |-  { w }  e.  Fin
29 cnvimass 5224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( #  |`  om ) " x )  C_  dom  ( #  |`  om )
30 f1odm 5678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
#  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  dom  ( #  |` 
om )  =  om )
312, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( #  |`  om )  =  om
3229, 31sseqtri 3380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' ( #  |`  om ) " x )  C_  om
33 onfin2 7298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
34 inss2 3562 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
3533, 34eqsstri 3378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  C_  Fin
3632, 35sstri 3357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( #  |`  om ) " x )  C_  Fin
37 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )
3836, 37sseldi 3346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  w  e.  Fin )
39 pwfi 7402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  Fin  <->  ~P w  e.  Fin )
4038, 39sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  ~P w  e. 
Fin )
41 xpfi 7378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { w }  e.  Fin  /\  ~P w  e. 
Fin )  ->  ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
4228, 40, 41sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
4342ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  A. w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
44 iunfi 7394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' ( #  |` 
om ) " x
)  e.  Fin  /\  A. w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )  ->  U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
4527, 43, 44syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin )
46 ficardom 7848 . . . . . . . 8  |-  ( U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin  ->  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  om )
4745, 46syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  om )
48 fvres 5745 . . . . . . 7  |-  ( (
card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  (
# `  ( card ` 
U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  (
( #  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  (
# `  ( card ` 
U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
50 hashcard 11638 . . . . . . 7  |-  ( U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin  ->  ( # `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  (
# `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )
5145, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( # `
 ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  (
# `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )
52 xp1st 6376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( { w }  X.  ~P w )  ->  ( 1st `  z
)  e.  { w } )
53 elsni 3838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1st `  z )  e.  { w }  ->  ( 1st `  z
)  =  w )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( { w }  X.  ~P w )  ->  ( 1st `  z
)  =  w )
5554rgen 2771 . . . . . . . . . 10  |-  A. z  e.  ( { w }  X.  ~P w ) ( 1st `  z )  =  w
5655rgenw 2773 . . . . . . . . 9  |-  A. w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) A. z  e.  ( { w }  X.  ~P w ) ( 1st `  z )  =  w
57 invdisj 4201 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) A. z  e.  ( {
w }  X.  ~P w ) ( 1st `  z )  =  w  -> Disj  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) )
5856, 57mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  -> Disj  w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )
5927, 42, 58hashiun 12601 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( # `
 U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) )  = 
sum_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) (
# `  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )
60 sneq 3825 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y )  ->  { w }  =  { ( `' ( #  |`  om ) `  y ) } )
61 pweq 3802 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y )  ->  ~P w  =  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )
6260, 61xpeq12d 4903 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y )  ->  ( { w }  X.  ~P w )  =  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )
6362fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y )  ->  ( # `
 ( { w }  X.  ~P w ) )  =  ( # `  ( { ( `' ( #  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) ) )
64 inss2 3562 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  C_ 
Fin
6564sseli 3344 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  x  e.  Fin )
66 f1of1 5673 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( #  |`  om ) : NN0
-1-1-onto-> om  ->  `' ( #  |` 
om ) : NN0 -1-1-> om )
6713, 66ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  `' (
#  |`  om ) : NN0 -1-1-> om
68 inss1 3561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  C_ 
~P NN0
6968sseli 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  x  e.  ~P NN0 )
7069elpwid 3808 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  x  C_ 
NN0 )
71 f1ores 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) : NN0 -1-1-> om  /\  x  C_ 
NN0 )  ->  ( `' ( #  |`  om )  |`  x ) : x -1-1-onto-> ( `' ( #  |`  om ) " x ) )
7267, 70, 71sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( `' ( #  |`  om )  |`  x ) : x -1-1-onto-> ( `' ( #  |`  om ) " x ) )
73 fvres 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  x  ->  (
( `' ( #  |` 
om )  |`  x
) `  y )  =  ( `' (
#  |`  om ) `  y ) )
7473adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( `' ( #  |`  om )  |`  x ) `  y
)  =  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )
75 hashcl 11639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { w }  X.  ~P w )  e.  Fin  ->  ( # `  ( { w }  X.  ~P w ) )  e. 
NN0 )
76 nn0cn 10231 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( {
w }  X.  ~P w ) )  e. 
NN0  ->  ( # `  ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  CC )
7742, 75, 763syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) )  ->  ( # `  ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  CC )
7863, 65, 72, 74, 77fsumf1o 12517 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  sum_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( # `  ( { w }  X.  ~P w ) )  = 
sum_ y  e.  x  ( # `  ( { ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) }  X.  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) ) )
79 snfi 7187 . . . . . . . . . 10  |-  { ( `' ( #  |`  om ) `  y ) }  e.  Fin
8070sselda 3348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  NN0 )
81 f1of 5674 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( #  |`  om ) : NN0
-1-1-onto-> om  ->  `' ( #  |` 
om ) : NN0 --> om )
8213, 81ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  `' (
#  |`  om ) : NN0 --> om
8382ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  om )
8480, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  om )
8535, 84sseldi 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin )
86 pwfi 7402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin  <->  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin )
8785, 86sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin )
88 hashxp 11697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  e.  Fin  /\  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin )  ->  ( # `  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )  =  ( ( # `  {
( `' ( #  |` 
om ) `  y
) } )  x.  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) ) )
8979, 87, 88sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )  =  ( ( # `  {
( `' ( #  |` 
om ) `  y
) } )  x.  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) ) )
90 hashsng 11647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  om  ->  ( # `  {
( `' ( #  |` 
om ) `  y
) } )  =  1 )
9184, 90syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  {
( `' ( #  |` 
om ) `  y
) } )  =  1 )
92 hashpw 11699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  Fin  ->  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 ( `' (
#  |`  om ) `  y ) ) ) )
9385, 92syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  ( 2 ^ ( # `
 ( `' (
#  |`  om ) `  y ) ) ) )
94 fvres 5745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' ( #  |`  om ) `  y )  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) )  =  (
# `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) )
9584, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( #  |`  om ) `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  ( # `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) )
96 f1ocnvfv2 6015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( #  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  y  e. 
NN0 )  ->  (
( #  |`  om ) `  ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) )  =  y )
972, 80, 96sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( #  |`  om ) `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  y )
9895, 97eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  y )
9998oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( 2 ^ ( # `  ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) )  =  ( 2 ^ y ) )
10093, 99eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) )  =  ( 2 ^ y
) )
10191, 100oveq12d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( ( # `
 { ( `' ( #  |`  om ) `  y ) } )  x.  ( # `  ~P ( `' ( #  |`  om ) `  y ) ) )  =  ( 1  x.  ( 2 ^ y
) ) )
102 2cn 10070 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
103 expcl 11399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  CC )
104102, 80, 103sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( 2 ^ y )  e.  CC )
105104mulid2d 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( 1  x.  ( 2 ^ y ) )  =  ( 2 ^ y
) )
10689, 101, 1053eqtrd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P
NN0  i^i  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  ( # `  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )  =  ( 2 ^ y
) )
107106sumeq2dv 12497 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  sum_ y  e.  x  ( # `  ( { ( `' (
#  |`  om ) `  y ) }  X.  ~P ( `' ( #  |` 
om ) `  y
) ) )  = 
sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
10859, 78, 1073eqtrd 2472 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  ( # `
 U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) )  = 
sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
10949, 51, 1083eqtrd 2472 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  ->  (
( #  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) )  =  sum_ y  e.  x  (
2 ^ y ) )
110109mpteq2ia 4291 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( (
#  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
11147adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )  ->  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  e.  om )
11226adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin ) )  ->  ( `' ( #  |`  om ) " x )  e.  ( ~P om  i^i  Fin ) )
113 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) )
114 eqidd 2437 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  =  ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) ) )
115 iuneq1 4106 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( `' (
#  |`  om ) "
x )  ->  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w )  =  U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) )
116115fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( `' (
#  |`  om ) "
x )  ->  ( card `  U_ w  e.  z  ( { w }  X.  ~P w ) )  =  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |`  om ) " x ) ( { w }  X.  ~P w ) ) )
117112, 113, 114, 116fmptco 5901 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
118 f1of 5674 . . . . . . . 8  |-  ( (
#  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  ->  ( #  |`  om ) : om --> NN0 )
1192, 118mp1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( #  |`  om ) : om --> NN0 )
120119feqmptd 5779 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( #  |`  om )  =  ( y  e. 
om  |->  ( ( #  |` 
om ) `  y
) ) )
121 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) )  ->  ( ( #  |`  om ) `  y
)  =  ( (
#  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
122111, 117, 120, 121fmptco 5901 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( #  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( (
#  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) ) )
123122trud 1332 . . . 4  |-  ( (
#  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i 
Fin )  |->  ( (
#  |`  om ) `  ( card `  U_ w  e.  ( `' ( #  |` 
om ) " x
) ( { w }  X.  ~P w ) ) ) )
124 ackbijnn.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  sum_ y  e.  x  ( 2 ^ y
) )
125110, 123, 1243eqtr4i 2466 . . 3  |-  ( (
#  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) )  =  F
126 f1oeq1 5665 . . 3  |-  ( ( ( #  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) )  =  F  -> 
( ( ( #  |` 
om )  o.  (
( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) ) : ( ~P
NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  <->  F : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 ) )
127125, 126ax-mp 8 . 2  |-  ( ( ( #  |`  om )  o.  ( ( z  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ w  e.  z  ( {
w }  X.  ~P w ) ) )  o.  ( x  e.  ( ~P NN0  i^i  Fin )  |->  ( `' (
#  |`  om ) "
x ) ) ) ) : ( ~P
NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0  <->  F : ( ~P NN0  i^i 
Fin ) -1-1-onto-> NN0 )
12819, 127mpbi 200 1  |-  F :
( ~P NN0  i^i  Fin ) -1-1-onto-> NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U_ciun 4093  Disj wdisj 4182    e. cmpt 4266   Oncon0 4581   omcom 4845    X. cxp 4876   `'ccnv 4877   dom cdm 4878    |` cres 4880   "cima 4881    o. ccom 4882   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1stc1st 6347   Fincfn 7109   cardccrd 7822   CCcc 8988   1c1 8991    x. cmul 8995   2c2 10049   NN0cn0 10221   ^cexp 11382   #chash 11618   sum_csu 12479
This theorem is referenced by:  bitsinv2  12955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
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