MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acnen Unicode version

Theorem acnen 7725
Description: The class of choice sets of length  A is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnen  |-  ( A 
~~  B  -> AC  A  = AC  B )

Proof of Theorem acnen
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ensym 6953 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  B  ~~  A )
2 endom 6931 . . . 4  |-  ( B 
~~  A  ->  B  ~<_  A )
3 acndom 7723 . . . 4  |-  ( B  ~<_  A  ->  ( x  e. AC  A  ->  x  e. AC  B ) )
41, 2, 33syl 18 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  (
x  e. AC  A  ->  x  e. AC  B ) )
5 endom 6931 . . . 4  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
6 acndom 7723 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( x  e. AC  B  ->  x  e. AC  A ) )
75, 6syl 15 . . 3  |-  ( A 
~~  B  ->  (
x  e. AC  B  ->  x  e. AC  A ) )
84, 7impbid 183 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  (
x  e. AC  A  <->  x  e. AC  B ) )
98eqrdv 2314 1  |-  ( A 
~~  B  -> AC  A  = AC  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701   class class class wbr 4060    ~~ cen 6903    ~<_ cdom 6904  AC wacn 7616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-1o 6521  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-fin 6910  df-acn 7620
  Copyright terms: Public domain W3C validator