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Theorem acneq 7686
Description: Equality theorem for the choice set function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acneq  |-  ( A  =  C  -> AC  A  = AC  C )

Proof of Theorem acneq
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2356 . . . 4  |-  ( A  =  C  ->  ( A  e.  _V  <->  C  e.  _V ) )
2 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( A  =  C  ->  (
( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A )  =  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  C ) )
3 raleq 2749 . . . . . 6  |-  ( A  =  C  ->  ( A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. y  e.  C  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
43exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( A  =  C  ->  ( E. g A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y )  <->  E. g A. y  e.  C  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
52, 4raleqbidv 2761 . . . 4  |-  ( A  =  C  ->  ( A. f  e.  (
( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y )  <->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  C ) E. g A. y  e.  C  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) )
61, 5anbi12d 691 . . 3  |-  ( A  =  C  ->  (
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )  <-> 
( C  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  C ) E. g A. y  e.  C  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) ) )
76abbidv 2410 . 2  |-  ( A  =  C  ->  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  =  { x  |  ( C  e. 
_V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  C ) E. g A. y  e.  C  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) } )
8 df-acn 7591 . 2  |- AC  A  =  { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) }
9 df-acn 7591 . 2  |- AC  C  =  { x  |  ( C  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  C
) E. g A. y  e.  C  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) }
107, 8, 93eqtr4g 2353 1  |-  ( A  =  C  -> AC  A  = AC  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788  AC wacn 7587
This theorem is referenced by:  acndom  7694  dfacacn  7783  dfac13  7784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-acn 7591
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