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Theorem acni2 7673
Description: The property of being a choice set of length  A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acni2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, g, A    B, g    g, X, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem acni2
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 3749 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  ( B  e.  ~P X  /\  B  =/=  (/) ) )
2 elpw2g 4174 . . . . . . . 8  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( B  e.  ~P X  <->  B  C_  X
) )
32anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( ( B  e.  ~P X  /\  B  =/=  (/) )  <->  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) ) )
41, 3syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( B  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) ) )
54ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) ) )
65biimpar 471 . . . 4  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  ( ~P X  \  { (/) } ) )
7 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
87fmpt 5681 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
96, 8sylib 188 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B ) : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
10 acni 7672 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )  ->  E. f A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
) )
119, 10syldan 456 . 2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. f A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
) )
12 nfmpt1 4109 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
13 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ x
y
1412, 13nffv 5532 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
1514nfel2 2431 . . . . 5  |-  F/ x
( f `  y
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
16 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ y ( f `  x
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )
17 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
f `  y )  =  ( f `  x ) )
18 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
1917, 18eleq12d 2351 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( f `  y
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  <-> 
( f `  x
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
2015, 16, 19cbvral 2760 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )
21 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )
22 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  x  e.  A
)
23 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  B  C_  X
)
24 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  X  e. AC  A )
25 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  C_  X  /\  X  e. AC  A )  ->  B  e.  _V )
2623, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  B  e.  _V )
277fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
2822, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  =  B )
2928eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  ( ( f `
 x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  ( f `  x )  e.  B
) )
3029ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  ->  ( B  C_  X  ->  ( ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  ( f `  x )  e.  B
) ) )
3130adantrd 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) )  -> 
( ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  ( f `  x )  e.  B
) ) )
3231ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  A  ( (
f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  ( f `  x )  e.  B
) ) )
3332imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  A. x  e.  A  ( ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  ( f `  x )  e.  B
) )
34 ralbi 2679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
( f `  x
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <-> 
( f `  x
)  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3635biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
37 ssel 3174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
C_  X  ->  (
( f `  x
)  e.  B  -> 
( f `  x
)  e.  X ) )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( f `  x
)  e.  B  -> 
( f `  x
)  e.  X ) )
3938ral2imi 2619 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  X ) )
4021, 36, 39sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  X )
41 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
4241eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
)  e.  X  <->  ( f `  y )  e.  X
) )
4342rspccva 2883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  X  /\  y  e.  A )  ->  ( f `  y
)  e.  X )
4440, 43sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  e.  X )
45 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  |->  ( f `
 y ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )
4644, 45fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : A --> X )
47 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  X  e. AC  A )
48 acnrcl 7669 . . . . . . . 8  |-  ( X  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )
4947, 48syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A  e.  _V )
50 fex2 5401 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) : A --> X  /\  A  e.  _V  /\  X  e. AC  A )  ->  ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) )  e.  _V )
5146, 49, 47, 50syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  e. 
_V )
52 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
5317, 45, 52fvmpt 5602 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
5453eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) `  x )  e.  B  <->  ( f `  x )  e.  B ) )
5554ralbiia 2575 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)
5636, 55sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) `  x )  e.  B
)
5746, 56jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( f `
 y ) ) : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B ) )
58 feq1 5375 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( g : A --> X 
<->  ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) : A --> X ) )
59 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( g `  x
)  =  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) `  x ) )
6059eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( ( g `  x )  e.  B  <->  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B ) )
6160ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B  <->  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B ) )
6258, 61anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  B )  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B ) ) )
6362spcegv 2869 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  e.  _V  ->  ( ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B ) ) )
6451, 57, 63sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B ) )
6564ex 423 . . . 4  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  ->  E. g
( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
) ) )
6620, 65syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  ->  E. g
( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
) ) )
6766exlimdv 1664 . 2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( E. f A. y  e.  A  (
f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  ->  E. g
( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
) ) )
6811, 67mpd 14 1  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  AC wacn 7571
This theorem is referenced by:  acni3  7674  acndom  7678  acnnum  7679  acndom2  7681  dfacacn  7767
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-acn 7575
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