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Theorem acni2 7932
Description: The property of being a choice set of length  A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acni2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, g, A    B, g    g, X, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem acni2
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 3929 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  ( B  e.  ~P X  /\  B  =/=  (/) ) )
2 elpw2g 4366 . . . . . . . 8  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( B  e.  ~P X  <->  B  C_  X
) )
32anbi1d 687 . . . . . . 7  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( ( B  e.  ~P X  /\  B  =/=  (/) )  <->  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) ) )
41, 3syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( B  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) ) )
54ralbidv 2727 . . . . 5  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) ) )
65biimpar 473 . . . 4  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  ( ~P X  \  { (/) } ) )
7 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
87fmpt 5893 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ~P X  \  { (/) } )  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> ( ~P X  \  { (/) } ) )
96, 8sylib 190 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B ) : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )
10 acni 7931 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> ( ~P X  \  { (/)
} ) )  ->  E. f A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
) )
119, 10syldan 458 . 2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. f A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
) )
12 nffvmpt1 5739 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
1312nfel2 2586 . . . . 5  |-  F/ x
( f `  y
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )
14 nfv 1630 . . . . 5  |-  F/ y ( f `  x
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )
15 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
f `  y )  =  ( f `  x ) )
16 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
1715, 16eleq12d 2506 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( f `  y
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  <-> 
( f `  x
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
1813, 14, 17cbvral 2930 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  (
f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )
19 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )
20 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  x  e.  A
)
21 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  X  e. AC  A )
22 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  B  C_  X
)
2321, 22ssexd 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  B  e.  _V )
247fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
2520, 23, 24syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  =  B )
2625eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  /\  B  C_  X )  ->  ( ( f `
 x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  ( f `  x )  e.  B
) )
2726ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  ->  ( B  C_  X  ->  ( ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  ( f `  x )  e.  B
) ) )
2827adantrd 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  x  e.  A )  ->  ( ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) )  -> 
( ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  ( f `  x )  e.  B
) ) )
2928ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e. AC  A  ->  ( A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) )  ->  A. x  e.  A  ( (
f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <->  ( f `  x )  e.  B
) ) )
3029imp 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  A. x  e.  A  ( ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  ( f `  x )  e.  B
) )
31 ralbi 2844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
( f `  x
)  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  <-> 
( f `  x
)  e.  B )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
3332biimpa 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B )
34 ssel 3344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
C_  X  ->  (
( f `  x
)  e.  B  -> 
( f `  x
)  e.  X ) )
3534adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( f `  x
)  e.  B  -> 
( f `  x
)  e.  X ) )
3635ral2imi 2784 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) )  ->  ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  X ) )
3719, 33, 36sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  X )
38 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
3938eleq1d 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
)  e.  X  <->  ( f `  y )  e.  X
) )
4039rspccva 3053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  X  /\  y  e.  A )  ->  ( f `  y
)  e.  X )
4137, 40sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )  /\  y  e.  A )  ->  (
f `  y )  e.  X )
42 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  |->  ( f `
 y ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )
4341, 42fmptd 5896 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : A --> X )
44 simpll 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  X  e. AC  A )
45 acnrcl 7928 . . . . . . . 8  |-  ( X  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )
4644, 45syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A  e.  _V )
47 fex2 5606 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) : A --> X  /\  A  e.  _V  /\  X  e. AC  A )  ->  ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) )  e.  _V )
4843, 46, 44, 47syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  e. 
_V )
49 fvex 5745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
5015, 42, 49fvmpt 5809 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
5150eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) `  x )  e.  B  <->  ( f `  x )  e.  B ) )
5251ralbiia 2739 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)
5333, 52sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) `  x )  e.  B
)
5443, 53jca 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( f `
 y ) ) : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B ) )
55 feq1 5579 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( g : A --> X 
<->  ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) : A --> X ) )
56 fveq1 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( g `  x
)  =  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) `  x ) )
5756eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( ( g `  x )  e.  B  <->  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B ) )
5857ralbidv 2727 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B  <->  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B ) )
5955, 58anbi12d 693 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  -> 
( ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  B )  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B ) ) )
6059spcegv 3039 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) )  e.  _V  ->  ( ( ( y  e.  A  |->  ( f `  y ) ) : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
( y  e.  A  |->  ( f `  y
) ) `  x
)  e.  B )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B ) ) )
6148, 54, 60sylc 59 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B ) )
6261ex 425 . . . 4  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  ->  E. g
( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
) ) )
6318, 62syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y
)  ->  E. g
( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
) ) )
6463exlimdv 1647 . 2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  -> 
( E. f A. y  e.  A  (
f `  y )  e.  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  y )  ->  E. g
( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
) ) )
6511, 64mpd 15 1  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( B  C_  X  /\  B  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   {csn 3816    e. cmpt 4269   -->wf 5453   ` cfv 5457  AC wacn 7830
This theorem is referenced by:  acni3  7933  acndom  7937  acnnum  7938  acndom2  7940  dfacacn  8026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-map 7023  df-acn 7834
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