MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni3 Structured version   Unicode version

Theorem acni3 7930
Description: The property of being a choice set of length  A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acni3.1  |-  ( y  =  ( g `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
acni3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, A    ph, g    ps, y    g, X, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, g)

Proof of Theorem acni3
StepHypRef Expression
1 rabn0 3649 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  X  ph )
21biimpri 199 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  X  ph  ->  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) )
3 ssrab2 3430 . . . . 5  |-  { y  e.  X  |  ph }  C_  X
42, 3jctil 525 . . . 4  |-  ( E. y  e.  X  ph  ->  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )
54ralimi 2783 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph  ->  A. x  e.  A  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )
6 acni2 7929 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
) )
75, 6sylan2 462 . 2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
) )
8 acni3.1 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( g `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
98elrab 3094 . . . . . 6  |-  ( ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  <->  ( ( g `  x
)  e.  X  /\  ps ) )
109simprbi 452 . . . . 5  |-  ( ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  ->  ps )
1110ralimi 2783 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  ->  A. x  e.  A  ps )
1211anim2i 554 . . 3  |-  ( ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
)  ->  ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
1312eximi 1586 . 2  |-  ( E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph } )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
147, 13syl 16 1  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    C_ wss 3322   (/)c0 3630   -->wf 5452   ` cfv 5456  AC wacn 7827
This theorem is referenced by:  fodomacn  7939  iundom2g  8417  ptclsg  17649
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-map 7022  df-acn 7831
  Copyright terms: Public domain W3C validator