MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acni3 Unicode version

Theorem acni3 7674
Description: The property of being a choice set of length  A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
acni3.1  |-  ( y  =  ( g `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
acni3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, A    ph, g    ps, y    g, X, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, g)

Proof of Theorem acni3
StepHypRef Expression
1 rabn0 3474 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. y  e.  X  ph )
21biimpri 197 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  X  ph  ->  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) )
3 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { y  e.  X  |  ph }  C_  X
42, 3jctil 523 . . . 4  |-  ( E. y  e.  X  ph  ->  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )
54ralimi 2618 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph  ->  A. x  e.  A  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )
6 acni2 7673 . . 3  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  ( { y  e.  X  |  ph }  C_  X  /\  { y  e.  X  |  ph }  =/=  (/) ) )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
) )
75, 6sylan2 460 . 2  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
) )
8 acni3.1 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( g `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
98elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  <->  ( ( g `  x
)  e.  X  /\  ps ) )
109simprbi 450 . . . . 5  |-  ( ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  ->  ps )
1110ralimi 2618 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }  ->  A. x  e.  A  ps )
1211anim2i 552 . . 3  |-  ( ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph }
)  ->  ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
1312eximi 1563 . 2  |-  ( E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  { y  e.  X  |  ph } )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
147, 13syl 15 1  |-  ( ( X  e. AC  A  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  X  ph )  ->  E. g ( g : A --> X  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   -->wf 5251   ` cfv 5255  AC wacn 7571
This theorem is referenced by:  fodomacn  7683  iundom2g  8162  ptclsg  17309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-acn 7575
  Copyright terms: Public domain W3C validator