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Theorem acnlem 7934
Description: Construct a mapping satisfying the consequent of isacn 7930. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnlem  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, A    B, g
Allowed substitution hints:    B( x, f)    V( x, f, g)

Proof of Theorem acnlem
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 5757 . . . . . 6  |-  ( f `
 x )  C_  U.
ran  f
2 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  ->  B  e.  ( f `  x ) )
31, 2sseldi 3348 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  ->  B  e.  U. ran  f
)
43ralimiaa 2782 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  A. x  e.  A  B  e.  U.
ran  f )
5 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
65fmpt 5893 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  U. ran  f  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f )
74, 6sylib 190 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f )
8 id 21 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
9 vex 2961 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
109rnex 5136 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
1110uniex 4708 . . . 4  |-  U. ran  f  e.  _V
12 fex2 5606 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f  /\  A  e.  V  /\  U. ran  f  e.  _V )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
1311, 12mp3an3 1269 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
147, 8, 13syl2anr 466 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
155fvmpt2 5815 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1615, 2eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
1716ralimiaa 2782 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
1817adantl 454 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
19 nfmpt1 4301 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
2019nfeq2 2585 . . . 4  |-  F/ x  g  =  ( x  e.  A  |->  B )
21 fveq1 5730 . . . . 5  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( g `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
2221eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( ( g `  x )  e.  ( f `  x )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2320, 22ralbid 2725 . . 3  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x )  <->  A. x  e.  A  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2423spcegv 3039 . 2  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  ( A. x  e.  A  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2514, 18, 24sylc 59 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   U.cuni 4017    e. cmpt 4269   ran crn 4882   -->wf 5453   ` cfv 5457
This theorem is referenced by:  numacn  7935  acndom  7937  acndom2  7940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465
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