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Theorem acnlem 7889
Description: Construct a mapping satisfying the consequent of isacn 7885. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnlem  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, A    B, g
Allowed substitution hints:    B( x, f)    V( x, f, g)

Proof of Theorem acnlem
StepHypRef Expression
1 fvssunirn 5717 . . . . . 6  |-  ( f `
 x )  C_  U.
ran  f
2 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  ->  B  e.  ( f `  x ) )
31, 2sseldi 3310 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  ->  B  e.  U. ran  f
)
43ralimiaa 2744 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  A. x  e.  A  B  e.  U.
ran  f )
5 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
65fmpt 5853 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  U. ran  f  <->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f )
74, 6sylib 189 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f )
8 id 20 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
9 vex 2923 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
109rnex 5096 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
1110uniex 4668 . . . 4  |-  U. ran  f  e.  _V
12 fex2 5566 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f  /\  A  e.  V  /\  U. ran  f  e.  _V )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
1311, 12mp3an3 1268 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> U. ran  f  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
147, 8, 13syl2anr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  _V )
155fvmpt2 5775 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1615, 2eqeltrd 2482 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( f `  x ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
1716ralimiaa 2744 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
1817adantl 453 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  A. x  e.  A  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) )
19 nfmpt1 4262 . . . . 5  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
2019nfeq2 2555 . . . 4  |-  F/ x  g  =  ( x  e.  A  |->  B )
21 fveq1 5690 . . . . 5  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( g `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
2221eleq1d 2474 . . . 4  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( ( g `  x )  e.  ( f `  x )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2320, 22ralbid 2688 . . 3  |-  ( g  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x )  <->  A. x  e.  A  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2423spcegv 3001 . 2  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  _V  ->  ( A. x  e.  A  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  e.  ( f `  x )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  ( f `  x ) ) )
2514, 18, 24sylc 58 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( f `  x
) )  ->  E. g A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  ( f `
 x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   _Vcvv 2920   U.cuni 3979    e. cmpt 4230   ran crn 4842   -->wf 5413   ` cfv 5417
This theorem is referenced by:  numacn  7890  acndom  7892  acndom2  7895
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-fv 5425
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