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Theorem acnrcl 7669
Description: Reverse closure for the choice set predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnrcl  |-  ( X  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )

Proof of Theorem acnrcl
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3461 . . 3  |-  ( X  e.  { x  |  ( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  ->  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  =/=  (/) )
2 abn0 3473 . . . 4  |-  ( { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) }  =/=  (/)  <->  E. x
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) )
3 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) )  ->  A  e.  _V )
43exlimiv 1666 . . . 4  |-  ( E. x ( A  e. 
_V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )  ->  A  e.  _V )
52, 4sylbi 187 . . 3  |-  ( { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) }  =/=  (/)  ->  A  e.  _V )
61, 5syl 15 . 2  |-  ( X  e.  { x  |  ( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  ->  A  e.  _V )
7 df-acn 7575 . 2  |- AC  A  =  { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) }
86, 7eleq2s 2375 1  |-  ( X  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772  AC wacn 7571
This theorem is referenced by:  acni  7672  acni2  7673  acndom2  7681  fodomacn  7683  iundom2g  8162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-v 2790  df-dif 3155  df-nul 3456  df-acn 7575
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