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Theorem acnrcl 7923
Description: Reverse closure for the choice set predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acnrcl  |-  ( X  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )

Proof of Theorem acnrcl
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3634 . . 3  |-  ( X  e.  { x  |  ( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  ->  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  =/=  (/) )
2 abn0 3646 . . . 4  |-  ( { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) }  =/=  (/)  <->  E. x
( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) )
3 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) )  ->  A  e.  _V )
43exlimiv 1644 . . . 4  |-  ( E. x ( A  e. 
_V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) )  ->  A  e.  _V )
52, 4sylbi 188 . . 3  |-  ( { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) }  =/=  (/)  ->  A  e.  _V )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( X  e.  { x  |  ( A  e.  _V  /\ 
A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  A ) E. g A. y  e.  A  ( g `  y
)  e.  ( f `
 y ) ) }  ->  A  e.  _V )
7 df-acn 7829 . 2  |- AC  A  =  { x  |  ( A  e.  _V  /\  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  A
) E. g A. y  e.  A  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) }
86, 7eleq2s 2528 1  |-  ( X  e. AC  A  ->  A  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    e. wcel 1725   {cab 2422    =/= wne 2599   A.wral 2705   _Vcvv 2956    \ cdif 3317   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018  AC wacn 7825
This theorem is referenced by:  acni  7926  acni2  7927  acndom2  7935  fodomacn  7937  iundom2g  8415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-v 2958  df-dif 3323  df-nul 3629  df-acn 7829
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