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Theorem acongeq 27050
Description: Two numbers in the fundamental domain are alternating-congruent iff they are equal. TODO: could be used to shorten jm2.26 27075 (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongeq  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  =  C  <->  ( ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C
) ) ) )

Proof of Theorem acongeq
StepHypRef Expression
1 2z 10314 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2 nnz 10305 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
323ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  ZZ )
4 zmulcl 10326 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
51, 3, 4sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  ZZ )
6 elfzelz 11061 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 ... A )  ->  B  e.  ZZ )
763ad2ant2 980 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  B  e.  ZZ )
8 congid 27038 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  A
)  ||  ( B  -  B ) )
95, 7, 8syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  B )
)
109adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  B  =  C )  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  B
) )
11 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  ( B  -  B )  =  ( B  -  C ) )
1211adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  B  =  C )  ->  ( B  -  B )  =  ( B  -  C ) )
1310, 12breqtrd 4238 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  B  =  C )  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C
) )
1413orcd 383 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  B  =  C )  ->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  C )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) ) )
15 elfzelz 11061 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( 0 ... A )  ->  C  e.  ZZ )
16153ad2ant3 981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  C  e.  ZZ )
177, 16zsubcld 10382 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  -  C )  e.  ZZ )
1817zcnd 10378 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  -  C )  e.  CC )
1918abscld 12240 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  e.  RR )
20 nnre 10009 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
21203ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  RR )
22 0re 9093 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
23 resubcl 9367 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  -  0 )  e.  RR )
2421, 22, 23sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
0 )  e.  RR )
25 2re 10071 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
26 remulcl 9077 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
2725, 21, 26sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
28 simp2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  B  e.  ( 0 ... A ) )
29 simp3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  C  e.  ( 0 ... A ) )
3024leidd 9595 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
0 )  <_  ( A  -  0 ) )
31 fzmaxdif 27048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  ( A  -  0 )  <_  ( A  - 
0 ) )  -> 
( abs `  ( B  -  C )
)  <_  ( A  -  0 ) )
323, 28, 3, 29, 30, 31syl221anc 1196 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <_  ( A  -  0 ) )
33 nnrp 10623 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR+ )
34333ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  RR+ )
3521, 34ltaddrpd 10679 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  <  ( A  +  A )
)
3621recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  CC )
3736subid1d 9402 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
0 )  =  A )
38362timesd 10212 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 2  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
3935, 37, 383brtr4d 4244 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
0 )  <  (
2  x.  A ) )
4019, 24, 27, 32, 39lelttrd 9230 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( 2  x.  A ) )
4140adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  ( abs `  ( B  -  C
) )  <  (
2  x.  A ) )
42 2nn 10135 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
43 simpl1 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  A  e.  NN )
44 nnmulcl 10025 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
4542, 43, 44sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  NN )
46 simpl2 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  B  e.  ( 0 ... A
) )
4746, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  B  e.  ZZ )
48 simpl3 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  C  e.  ( 0 ... A
) )
4948, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  C  e.  ZZ )
50 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C
) )
51 congabseq 27041 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  e.  NN  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( B  -  C ) )  -> 
( ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( 2  x.  A )  <->  B  =  C ) )
5245, 47, 49, 50, 51syl31anc 1188 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  ( ( abs `  ( B  -  C ) )  < 
( 2  x.  A
)  <->  B  =  C
) )
5341, 52mpbid 203 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C )
)  ->  B  =  C )
54 simpll2 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  B  e.  ( 0 ... A ) )
55 elfzle1 11062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( 0 ... A )  ->  0  <_  B )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  B
)
577zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  B  e.  RR )
5816zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  C  e.  RR )
5958renegcld 9466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  -u C  e.  RR )
6057, 59resubcld 9467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  -  -u C )  e.  RR )
6160recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  -  -u C )  e.  CC )
6261abscld 12240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( abs `  ( B  -  -u C ) )  e.  RR )
6362ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  -u C ) )  e.  RR )
64 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
65 resubcl 9367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
6621, 64, 65sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
1 )  e.  RR )
6766renegcld 9466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  -u ( A  - 
1 )  e.  RR )
6821, 67resubcld 9467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  -  -u ( A  -  1 ) )  e.  RR )
6968ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( A  -  -u ( A  -  1 ) )  e.  RR )
7027ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
717ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
7271zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
7316znegcld 10379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  -u C  e.  ZZ )
7473ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u C  e.  ZZ )
7574zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u C  e.  CC )
7672, 75abssubd 12257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  -u C ) )  =  ( abs `  ( -u C  -  B ) ) )
77 elfzel1 11060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  0  e.  ZZ )
7877adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
79 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) )
80 0z 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  ZZ
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  0  e.  ZZ )
82 1z 10313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  ZZ
83 zsubcl 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
843, 82, 83sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
1 )  e.  ZZ )
85 fzneg 27049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  ( A  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  -u C  e.  ( -u ( A  -  1 ) ... -u 0
) ) )
8616, 81, 84, 85syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  -u C  e.  (
-u ( A  - 
1 ) ... -u 0
) ) )
8786ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  <->  -u C  e.  (
-u ( A  - 
1 ) ... -u 0
) ) )
8879, 87mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u C  e.  (
-u ( A  - 
1 ) ... -u 0
) )
89 neg0 9349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u 0  =  0
9089a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u 0  =  0 )
9190oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( -u ( A  -  1 ) ... -u 0 )  =  ( -u ( A  -  1 ) ... 0 ) )
9288, 91eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u C  e.  (
-u ( A  - 
1 ) ... 0
) )
933ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
94 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  NN )
9542, 94, 44sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  NN )
96 nnm1nn0 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  A )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  NN0 )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  e.  NN0 )
9897nn0ge0d 10279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  0  <_  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )
99 0cn 9086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  CC
10099subid1i 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  -  0 )  =  0
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 0  -  0 )  =  0 )
102 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  1  e.  CC )
10436, 36, 103addsubassd 9433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( A  +  A )  - 
1 )  =  ( A  +  ( A  -  1 ) ) )
10538oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  =  ( ( A  +  A
)  -  1 ) )
106 subcl 9307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
10736, 102, 106sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  - 
1 )  e.  CC )
10836, 107subnegd 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  -  -u ( A  -  1 ) )  =  ( A  +  ( A  -  1 ) ) )
109104, 105, 1083eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  -  -u ( A  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A
)  -  1 ) )
11098, 101, 1093brtr4d 4244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( 0  -  0 )  <_  ( A  -  -u ( A  -  1 ) ) )
111110ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( 0  -  0 )  <_  ( A  -  -u ( A  -  1 ) ) )
112 fzmaxdif 27048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u C  e.  ( -u ( A  -  1 ) ... 0 ) )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
0  -  0 )  <_  ( A  -  -u ( A  -  1 ) ) )  -> 
( abs `  ( -u C  -  B ) )  <_  ( A  -  -u ( A  - 
1 ) ) )
11378, 92, 93, 54, 111, 112syl221anc 1196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( -u C  -  B ) )  <_  ( A  -  -u ( A  - 
1 ) ) )
11476, 113eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  -u C ) )  <_  ( A  -  -u ( A  - 
1 ) ) )
11527ltm1d 9945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  <  (
2  x.  A ) )
116109, 115eqbrtrd 4234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  -  -u ( A  -  1 ) )  <  (
2  x.  A ) )
117116ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( A  -  -u ( A  -  1 ) )  <  (
2  x.  A ) )
11863, 69, 70, 114, 117lelttrd 9230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( B  -  -u C ) )  <  ( 2  x.  A ) )
11995ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  e.  NN )
120 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C ) )
121 congabseq 27041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  e.  NN  /\  B  e.  ZZ  /\  -u C  e.  ZZ )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C ) )  ->  ( ( abs `  ( B  -  -u C ) )  < 
( 2  x.  A
)  <->  B  =  -u C
) )
122119, 71, 74, 120, 121syl31anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( B  -  -u C
) )  <  (
2  x.  A )  <-> 
B  =  -u C
) )
123118, 122mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  B  =  -u C )
12456, 123breqtrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  -u C
)
125 elfzelz 11061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  C  e.  ZZ )
126125zred 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  C  e.  RR )
127126adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  C  e.  RR )
128127le0neg1d 9600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( C  <_ 
0  <->  0  <_  -u C
) )
129124, 128mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  C  <_  0
)
130 elfzle1 11062 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  ->  0  <_  C )
131130adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  C
)
132 letri3 9162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  =  0  <-> 
( C  <_  0  /\  0  <_  C ) ) )
133127, 22, 132sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  ( C  =  0  <->  ( C  <_ 
0  /\  0  <_  C ) ) )
134129, 131, 133mpbir2and 890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  C  =  0 )
135134negeqd 9302 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u C  =  -u
0 )
136135, 90eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  -u C  =  0 )
137136, 123, 1343eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) )  ->  B  =  C )
138 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  A  ->  ( B  -  C )  =  ( B  -  A ) )
139138adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( B  -  C
)  =  ( B  -  A ) )
140139fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  =  ( abs `  ( B  -  A
) ) )
14140ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( abs `  ( B  -  C )
)  <  ( 2  x.  A ) )
142140, 141eqbrtrrd 4236 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  ( 2  x.  A ) )
14395ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
1447ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  B  e.  ZZ )
1453ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  A  e.  ZZ )
146 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( 2  x.  A
)  ||  ( B  -  -u C ) )
1477zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  B  e.  CC )
14836, 36, 147ppncand 9453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( A  +  A )  +  ( B  -  A
) )  =  ( A  +  B ) )
14936, 147addcomd 9270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( A  +  B )  =  ( B  +  A ) )
150148, 149eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( A  +  A )  +  ( B  -  A
) )  =  ( B  +  A ) )
151150ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( ( A  +  A )  +  ( B  -  A ) )  =  ( B  +  A ) )
152 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  =  A  ->  ( B  +  C )  =  ( B  +  A ) )
153152adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( B  +  C
)  =  ( B  +  A ) )
154151, 153eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( ( A  +  A )  +  ( B  -  A ) )  =  ( B  +  C ) )
15538oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  +  ( B  -  A
) )  =  ( ( A  +  A
)  +  ( B  -  A ) ) )
156155ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( ( 2  x.  A )  +  ( B  -  A ) )  =  ( ( A  +  A )  +  ( B  -  A ) ) )
15716zcnd 10378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  C  e.  CC )
158147, 157subnegd 9420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  -  -u C )  =  ( B  +  C ) )
159158ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( B  -  -u C
)  =  ( B  +  C ) )
160154, 156, 1593eqtr4d 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( ( 2  x.  A )  +  ( B  -  A ) )  =  ( B  -  -u C ) )
161146, 160breqtrrd 4240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( 2  x.  A
)  ||  ( (
2  x.  A )  +  ( B  -  A ) ) )
1625ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
1637, 3zsubcld 10382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  -  A )  e.  ZZ )
164163ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( B  -  A
)  e.  ZZ )
165 dvdsadd 12890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  ZZ  /\  ( B  -  A
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  A
)  <->  ( 2  x.  A )  ||  (
( 2  x.  A
)  +  ( B  -  A ) ) ) )
166162, 164, 165syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  A )  <->  ( 2  x.  A ) 
||  ( ( 2  x.  A )  +  ( B  -  A
) ) ) )
167161, 166mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( 2  x.  A
)  ||  ( B  -  A ) )
168 congabseq 27041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  e.  NN  /\  B  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( B  -  A ) )  -> 
( ( abs `  ( B  -  A )
)  <  ( 2  x.  A )  <->  B  =  A ) )
169143, 144, 145, 167, 168syl31anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  ( ( abs `  ( B  -  A )
)  <  ( 2  x.  A )  <->  B  =  A ) )
170142, 169mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  B  =  A )
171 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  C  =  A )
172170, 171eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A
)  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  /\  (
2  x.  A ) 
||  ( B  -  -u C ) )  /\  C  =  A )  ->  B  =  C )
173 nnnn0 10230 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
1741733ad2ant1 979 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  NN0 )
175 nn0uz 10522 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
176174, 175syl6eleq 2528 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  A  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
177 fzm1 11129 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( C  e.  ( 0 ... A
)  <->  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  \/  C  =  A ) ) )
178177biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  C  e.  ( 0 ... A
) )  ->  ( C  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) )  \/  C  =  A ) )
179176, 29, 178syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  \/  C  =  A ) )
180179adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C ) )  ->  ( C  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) )  \/  C  =  A ) )
181137, 172, 180mpjaodan 763 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C ) )  ->  B  =  C )
18253, 181jaodan 762 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  /\  ( ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C
) ) )  ->  B  =  C )
18314, 182impbida 807 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... A )  /\  C  e.  ( 0 ... A ) )  ->  ( B  =  C  <->  ( ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  C
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( B  -  -u C
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   -ucneg 9294   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   ...cfz 11045   abscabs 12041    || cdivides 12854
This theorem is referenced by:  jm2.27a  27078
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855
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