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Theorem acongrep 27067
Description: Every integer is alternating-congruent to some number in the first half of the fundamental domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongrep  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... A ) ( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) ) )
Distinct variable groups:    A, a    N, a

Proof of Theorem acongrep
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 9877 . . . 4  |-  2  e.  NN
2 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  NN )
3 nnmulcl 9769 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
41, 2, 3sylancr 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
5 simpr 447 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
6 congrep 27060 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) )
74, 5, 6syl2anc 642 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) )
8 elfzelz 10798 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  ->  b  e.  ZZ )
98zred 10117 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  ->  b  e.  RR )
109ad2antrl 708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
b  e.  RR )
11 nnre 9753 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
1211ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  A  e.  RR )
13 elfzle1 10799 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  ->  0  <_  b )
1413ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
0  <_  b )
1514anim1i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  ( 0  <_  b  /\  b  <_  A ) )
168ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
b  e.  ZZ )
17 0z 10035 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
1817a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
0  e.  ZZ )
19 nnz 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
2019ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  A  e.  ZZ )
21 elfz 10788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
b  e.  ( 0 ... A )  <->  ( 0  <_  b  /\  b  <_  A ) ) )
2216, 18, 20, 21syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( b  e.  ( 0 ... A )  <-> 
( 0  <_  b  /\  b  <_  A ) ) )
2322adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  ( b  e.  ( 0 ... A
)  <->  ( 0  <_ 
b  /\  b  <_  A ) ) )
2415, 23mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  b  e.  ( 0 ... A
) )
25 simplrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) )
2625orcd 381 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( b  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( b  -  -u N ) ) )
27 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
28 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  N  =  N )
2927, 28acongeq12d 27066 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) )  <->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( b  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( b  -  -u N ) ) ) )
3029rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ( 0 ... A )  /\  ( ( 2  x.  A )  ||  (
b  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
b  -  -u N
) ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... A ) ( ( 2  x.  A
)  ||  ( a  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( a  -  -u N ) ) )
3124, 26, 30syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  b  <_  A
)  ->  E. a  e.  ( 0 ... A
) ( ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  N
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  -u N
) ) )
32 simplll 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  A  e.  NN )
33 simplrl 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ) )
34 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  A  <_  b )
3593ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
b  e.  RR )
36 2re 9815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
37 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
3836, 11, 37sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  x.  A )  e.  RR )
39383ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  RR )
40 elfzel1 10797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  ->  0  e.  ZZ )
41403ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
0  e.  ZZ )
42 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
43 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
4442, 19, 43sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2  x.  A )  e.  ZZ )
45443ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
46 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ) )
47 elfzm11 10853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )  ->  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  <->  ( b  e.  ZZ  /\  0  <_ 
b  /\  b  <  ( 2  x.  A ) ) ) )
4847biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  A
)  e.  ZZ )  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) )  ->  ( b  e.  ZZ  /\  0  <_ 
b  /\  b  <  ( 2  x.  A ) ) )
4941, 45, 46, 48syl21anc 1181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( b  e.  ZZ  /\  0  <_  b  /\  b  <  ( 2  x.  A ) ) )
5049simp3d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
b  <  ( 2  x.  A ) )
5135, 39, 50ltled 8967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
b  <_  ( 2  x.  A ) )
5239, 35subge0d 9362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( 0  <_  (
( 2  x.  A
)  -  b )  <-> 
b  <_  ( 2  x.  A ) ) )
5351, 52mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
0  <_  ( (
2  x.  A )  -  b ) )
54113ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  ->  A  e.  RR )
55 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
56 2times 9843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
5756oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  -  A )  =  ( ( A  +  A )  -  A ) )
58 pncan2 9058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  +  A )  -  A
)  =  A )
5958anidms 626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  A
)  -  A )  =  A )
6057, 59eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  -  A )  =  A )
6155, 60syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( 2  x.  A
)  -  A )  =  A )
62613ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  A
)  =  A )
63 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  ->  A  <_  b )
6462, 63eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  A
)  <_  b )
6539, 54, 35, 64subled 9375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  b
)  <_  A )
6653, 65jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  A  <_  b )  -> 
( 0  <_  (
( 2  x.  A
)  -  b )  /\  ( ( 2  x.  A )  -  b )  <_  A
) )
6732, 33, 34, 66syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( 0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  b )  /\  (
( 2  x.  A
)  -  b )  <_  A ) )
6842, 20, 43sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  ZZ )
6968, 16zsubcld 10122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  ZZ )
70 elfz 10788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  ( 0 ... A )  <->  ( 0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  b )  /\  (
( 2  x.  A
)  -  b )  <_  A ) ) )
7169, 18, 20, 70syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  -  b )  e.  ( 0 ... A )  <-> 
( 0  <_  (
( 2  x.  A
)  -  b )  /\  ( ( 2  x.  A )  -  b )  <_  A
) ) )
7271adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  b )  e.  ( 0 ... A )  <->  ( 0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  b )  /\  (
( 2  x.  A
)  -  b )  <_  A ) ) )
7367, 72mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( (
2  x.  A )  -  b )  e.  ( 0 ... A
) )
74 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  N  e.  ZZ )
75 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) )
76 congsym 27055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( N  -  b ) )
7768, 16, 74, 75, 76syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( N  -  b ) )
7874, 16zsubcld 10122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( N  -  b
)  e.  ZZ )
79 dvdsadd 12567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  b
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  A )  ||  ( N  -  b
)  <->  ( 2  x.  A )  ||  (
( 2  x.  A
)  +  ( N  -  b ) ) ) )
8068, 78, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  ||  ( N  -  b )  <->  ( 2  x.  A ) 
||  ( ( 2  x.  A )  +  ( N  -  b
) ) ) )
8177, 80mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( (
2  x.  A )  +  ( N  -  b ) ) )
8269zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  CC )
83 zcn 10029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
8483ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  N  e.  CC )
8582, 84subnegd 9164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N
)  =  ( ( ( 2  x.  A
)  -  b )  +  N ) )
8668zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  CC )
8710recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
b  e.  CC )
8886, 87, 84subadd23d 9179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  -  b )  +  N
)  =  ( ( 2  x.  A )  +  ( N  -  b ) ) )
8985, 88eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N
)  =  ( ( 2  x.  A )  +  ( N  -  b ) ) )
9081, 89breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  -> 
( 2  x.  A
)  ||  ( (
( 2  x.  A
)  -  b )  -  -u N ) )
9190adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( 2  x.  A )  ||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N
) )
9291olcd 382 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N ) ) )
93 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( 2  x.  A )  -  b )  ->  a  =  ( ( 2  x.  A )  -  b ) )
94 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( 2  x.  A )  -  b )  ->  N  =  N )
9593, 94acongeq12d 27066 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( 2  x.  A )  -  b )  ->  (
( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) )  <->  ( (
2  x.  A ) 
||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( ( ( 2  x.  A )  -  b )  -  -u N ) ) ) )
9695rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2  x.  A )  -  b
)  e.  ( 0 ... A )  /\  ( ( 2  x.  A )  ||  (
( ( 2  x.  A )  -  b
)  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
( ( 2  x.  A )  -  b
)  -  -u N
) ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... A ) ( ( 2  x.  A
)  ||  ( a  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( a  -  -u N ) ) )
9773, 92, 96syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  /\  ( 2  x.  A
)  ||  ( b  -  N ) ) )  /\  A  <_  b
)  ->  E. a  e.  ( 0 ... A
) ( ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  N
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  -u N
) ) )
9810, 12, 31, 97lecasei 8926 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  /\  ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
) ) )  ->  E. a  e.  (
0 ... A ) ( ( 2  x.  A
)  ||  ( a  -  N )  \/  (
2  x.  A ) 
||  ( a  -  -u N ) ) )
9998exp32 588 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( b  e.  ( 0 ... ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  ->  ( ( 2  x.  A )  ||  ( b  -  N
)  ->  E. a  e.  ( 0 ... A
) ( ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  N
)  \/  ( 2  x.  A )  ||  ( a  -  -u N
) ) ) ) )
10099rexlimdv 2666 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( E. b  e.  ( 0 ... (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ) ( 2  x.  A )  ||  (
b  -  N )  ->  E. a  e.  ( 0 ... A ) ( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) ) ) )
1017, 100mpd 14 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( 0 ... A ) ( ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  N )  \/  ( 2  x.  A )  ||  (
a  -  -u N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ...cfz 10782    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  jm2.26  27095
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-dvds 12532
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