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Theorem acongtr 27065
Description: Transitivity of alternating congruence. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
acongtr  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  (
( A  ||  ( B  -  C )  \/  A  ||  ( B  -  -u C ) )  /\  ( A  ||  ( C  -  D
)  \/  A  ||  ( C  -  -u D
) ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )

Proof of Theorem acongtr
StepHypRef Expression
1 congtr 27052 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  D
) ) )  ->  A  ||  ( B  -  D ) )
213expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  D )
)
32orcd 381 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
43ex 423 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  C
)  /\  A  ||  ( C  -  D )
)  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) ) )
5 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
6 znegcl 10055 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ZZ  ->  -u C  e.  ZZ )
7 znegcl 10055 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ZZ  ->  -u D  e.  ZZ )
86, 7anim12i 549 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ ) )
98ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( -u C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ ) )
10 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  A  e.  ZZ )
11 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  C  e.  ZZ )
12 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  D  e.  ZZ )
13 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  A  ||  ( C  -  D ) )
14 congsym 27055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( D  e.  ZZ  /\  A  ||  ( C  -  D
) ) )  ->  A  ||  ( D  -  C ) )
1510, 11, 12, 13, 14syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  D ) )  ->  A  ||  ( D  -  C ) )
1615ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  D )  ->  A  ||  ( D  -  C ) ) )
17 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  CC )
1817adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  C  e.  CC )
19 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  e.  CC )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  CC )
2118, 20neg2subd 9174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u C  -  -u D )  =  ( D  -  C ) )
2221adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( -u C  -  -u D
)  =  ( D  -  C ) )
2322eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( D  -  C
)  =  ( -u C  -  -u D ) )
2423breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( D  -  C )  <->  A 
||  ( -u C  -  -u D ) ) )
2516, 24sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  D )  ->  A  ||  ( -u C  -  -u D ) ) )
2625anim2d 548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( C  -  D )
)  ->  ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( -u C  -  -u D
) ) ) )
2726imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( -u C  -  -u D
) ) )
28 congtr 27052 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -u C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( -u C  -  -u D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  -u D ) )
295, 9, 27, 28syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  -u D ) )
3029olcd 382 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
3130ex 423 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( C  -  D )
)  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) ) )
32 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
337anim2i 552 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ ) )
3433ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ ) )
35 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  C
)  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )
36 congtr 27052 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D
) ) )  ->  A  ||  ( B  -  -u D ) )
3732, 34, 35, 36syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  -u D ) )
3837olcd 382 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
3938ex 423 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  C
)  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) ) )
40 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
416anim1i 551 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )
4241ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( -u C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )
43 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
44 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
4543, 44anim12i 549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
4645an42s 800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
4746adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
487adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  -> 
-u D  e.  ZZ )
4948ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  -u D  e.  ZZ )
50 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  A  ||  ( C  -  -u D ) )
51 congsym 27055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( -u D  e.  ZZ  /\  A  ||  ( C  -  -u D
) ) )  ->  A  ||  ( -u D  -  C ) )
5247, 49, 50, 51syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  A  ||  ( -u D  -  C ) )
5352ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  -u D )  ->  A  ||  ( -u D  -  C ) ) )
5418negnegd 9148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  -> 
-u -u C  =  C )
5554oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u D  -  -u -u C )  =  (
-u D  -  C
) )
56 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u C  e.  ZZ  ->  -u C  e.  CC )
5756adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u C  e.  ZZ  /\  -u D  e.  ZZ )  ->  -u C  e.  CC )
588, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  -> 
-u C  e.  CC )
5920, 58neg2subd 9174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u D  -  -u -u C )  =  (
-u C  -  D
) )
6055, 59eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( -u D  -  C )  =  (
-u C  -  D
) )
6160adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( -u D  -  C
)  =  ( -u C  -  D )
)
6261breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( -u D  -  C )  <-> 
A  ||  ( -u C  -  D ) ) )
6353, 62sylibd 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  ||  ( C  -  -u D )  ->  A  ||  ( -u C  -  D ) ) )
6463anim2d 548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( -u C  -  D ) ) ) )
6564imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( -u C  -  D ) ) )
66 congtr 27052 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -u C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( -u C  -  D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  D )
)
6740, 42, 65, 66syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  A  ||  ( B  -  D )
)
6867orcd 381 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  ( A  ||  ( B  -  -u C )  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
6968ex 423 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  ||  ( B  -  -u C
)  /\  A  ||  ( C  -  -u D ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) ) )
704, 31, 39, 69ccased 913 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A 
||  ( B  -  C )  \/  A  ||  ( B  -  -u C
) )  /\  ( A  ||  ( C  -  D )  \/  A  ||  ( C  -  -u D
) ) )  -> 
( A  ||  ( B  -  D )  \/  A  ||  ( B  -  -u D ) ) ) )
71703impia 1148 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  (
( A  ||  ( B  -  C )  \/  A  ||  ( B  -  -u C ) )  /\  ( A  ||  ( C  -  D
)  \/  A  ||  ( C  -  -u D
) ) ) )  ->  ( A  ||  ( B  -  D
)  \/  A  ||  ( B  -  -u D
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735    - cmin 9037   -ucneg 9038   ZZcz 10024    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  jm2.25lem1  27091  jm2.26  27095  jm2.27a  27098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-dvds 12532
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