MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdomd Unicode version

Theorem acsdomd 14284
Description: In an algebraic closure system, if  S and  T have the same closure and  S is infinite independent, then  T dominates  S. This follows from applying acsinfd 14283 and then applying unirnfdomd 8189 to the map given in acsmap2d 14282. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmap2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
acsmap2d.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
acsmap2d.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
acsmap2d.4  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
acsmap2d.5  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
acsmap2d.6  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
acsinfd.7  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
acsdomd  |-  ( ph  ->  S  ~<_  T )

Proof of Theorem acsdomd
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmap2d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
2 acsmap2d.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
3 acsmap2d.3 . . 3  |-  I  =  (mrInd `  A )
4 acsmap2d.4 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
5 acsmap2d.5 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
6 acsmap2d.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6acsmap2d 14282 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )
8 simprr 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  S  =  U. ran  f )
9 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  f : T
--> ( ~P S  i^i  Fin ) )
10 inss2 3390 . . . . 5  |-  ( ~P S  i^i  Fin )  C_ 
Fin
11 fss 5397 . . . . 5  |-  ( ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  ( ~P S  i^i  Fin )  C_  Fin )  ->  f : T --> Fin )
129, 10, 11sylancl 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  f : T
--> Fin )
13 acsinfd.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  S  e.  Fin )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13acsinfd 14283 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  T  e.  Fin )
1514adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  -.  T  e.  Fin )
161adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  A  e.  (ACS `  X ) )
1716elfvexd 5556 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  X  e.  _V )
185adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  T  C_  X
)
1917, 18ssexd 4161 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  T  e.  _V )
2012, 15, 19unirnfdomd 8189 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  U. ran  f  ~<_  T )
218, 20eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( f : T --> ( ~P S  i^i  Fin )  /\  S  =  U. ran  f ) )  ->  S  ~<_  T )
227, 21exlimddv 1665 1  |-  ( ph  ->  S  ~<_  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863  mrClscmrc 13485  mrIndcmri 13486  ACScacs 13487
This theorem is referenced by:  acsinfdimd  14285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-r1 7436  df-rank 7437  df-card 7572  df-acn 7575  df-ac 7743  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ocomp 13229  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-mri 13490  df-acs 13491  df-preset 14062  df-drs 14063  df-poset 14080  df-ipo 14255
  Copyright terms: Public domain W3C validator