Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsdomd Structured version   Unicode version

Theorem acsdomd 14607
 Description: In an algebraic closure system, if and have the same closure and is infinite independent, then dominates . This follows from applying acsinfd 14606 and then applying unirnfdomd 8442 to the map given in acsmap2d 14605. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmap2d.1 ACS
acsmap2d.2 mrCls
acsmap2d.3 mrInd
acsmap2d.4
acsmap2d.5
acsmap2d.6
acsinfd.7
Assertion
Ref Expression
acsdomd

Proof of Theorem acsdomd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmap2d.1 . . 3 ACS
2 acsmap2d.2 . . 3 mrCls
3 acsmap2d.3 . . 3 mrInd
4 acsmap2d.4 . . 3
5 acsmap2d.5 . . 3
6 acsmap2d.6 . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6acsmap2d 14605 . 2
8 simprr 734 . . 3
9 simprl 733 . . . . 5
10 inss2 3562 . . . . 5
11 fss 5599 . . . . 5
129, 10, 11sylancl 644 . . . 4
13 acsinfd.7 . . . . . 6
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13acsinfd 14606 . . . . 5
1514adantr 452 . . . 4
161adantr 452 . . . . . 6 ACS
1716elfvexd 5759 . . . . 5
185adantr 452 . . . . 5
1917, 18ssexd 4350 . . . 4
2012, 15, 19unirnfdomd 8442 . . 3
218, 20eqbrtrd 4232 . 2
227, 21exlimddv 1648 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  cpw 3799  cuni 4015   class class class wbr 4212   crn 4879  wf 5450  cfv 5454   cdom 7107  cfn 7109  mrClscmrc 13808  mrIndcmri 13809  ACScacs 13810 This theorem is referenced by:  acsinfdimd  14608 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-reg 7560  ax-inf2 7596  ax-ac2 8343  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-r1 7690  df-rank 7691  df-card 7826  df-acn 7829  df-ac 7997  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ocomp 13550  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-mri 13813  df-acs 13814  df-preset 14385  df-drs 14386  df-poset 14403  df-ipo 14578
 Copyright terms: Public domain W3C validator